中国剩余定理（CRT ）
这次我决定简单粗暴地引入主题，因为要介绍的是我认为非常重要的、我非常喜欢的——中国剩余定理(Chinese remainder theorem, CRT) ！
《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，共三卷，成书约在四、五世纪，作者生平和具体编写年不详。
其卷下的第26题为：
今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？
答曰：‘二十三’。
术曰：三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之。得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一，则置十五；一百六以上以一百五减之即得。
（即——
一个整数除以3余2、除以5余3、除以7余2，求这个整数。
答案：23
解法：由于除以3余2，因此加上一个140；由于除以5余3，因此加上一个63；由于除以7余2，因此加上一个30；这三个数的和是140+63+30=233，再减去210，就得到了23了。
这么说吧，只要是除以3余了一个1，就加上一个70；只要是除以5余了一个1，就加上一个21；只要是除以7余了一个1，就加上一个15。然后累加。超过了106就减去105就行了。
）
该问题称之为“物不知数”问题。
在中国民间还有所谓“韩信点兵”等类似问题：
（先插播一下所谓“韩信将兵多多益善”）
上尝从容与信言诸将能不，各有差。上问曰：“如我，能将几何？”信曰：“陛下不过能将十万。”上曰：“如公何如？”曰：“如臣，多多益善耳。”上笑曰：“多多益善，何为为我禽？” 信曰：“陛下不能将兵，而善将将，此乃信之所以为陛下禽也。”
——《汉史·韩彭英卢吴传第四》
“韩信点兵”问题的描述（之一）是：韩信让士兵排队，站3人一排，多出2人；站5人一排，多出4人；站7人一排，多出6人。于是他没有数就说出了士兵的数目。
南宋，秦九韶在《数书九章》中明确地系统地叙述了求解一次同余组的一般计算步骤。在卷一“大衍总术”中详载了计算乘率的方法——“大衍求一术”。
然而我看不懂= =
（数学九章-【宋】秦九韶-免费电子书-在线阅读-网易云阅读）
明代，程大位
（图片来自百度百科）
在他的著作《直指算法统宗》（简称《算法统宗》）
卷五中，提出了“孙子歌”——“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝， 七子团圆正半月，除百令五便得知。”。
实际上说的就是前文的：只要是除以3余了一个1，就加上一个70；只要是除以5余了一个1，就加上一个21；只要是除以7余了一个1，就加上一个15。然后累加。
再加上一句：计算这个总和除以105的余数。
而我只会用现代的数学语言来解释：
先考虑问题的分解：
问题1：计算一个整数 ，使得它满足除以3余2、除以5余3、除以7余2。
如果能够找到三个整数 ，使得：
除以3余2、除以5余0、除以7余0；
除以3余0、除以5余3、除以7余0；
除以3余0、除以5余0、除以7余2；
那么令 ，就很容易验证这时的
就满足除以3余2、除以5余3、除以7余2。
分别称找到整数 的问题为问题1-1、问题1-2、问题1-3。可以看出这三个问题本质上是类似的。
下面对问题1-1继续分解，如果能够找到一个整数 满足
除以3余1、除以5余0、除以7余0，那么令
，就很容易验证这时的
就满足除以3余2、除以5余0、除以7余0。
因此定义
问题1-1-1为：寻找整数 满足
除以3余1、除以5余0、除以7余0；
问题1-2-1为：寻找整数 满足
除以3余0、除以5余1、除以7余0；
问题1-3-1为：寻找整数 满足
除以3余0、除以5余0、除以7余1。
这三个问题本质上是相同的。
如果找到了 ，那么就可以取
。
下面就以问题1-1-1为例：寻找整数 使得
除以3余1、除以5余0、除以7余0。
于是 一定是
的倍数，假设
。
那么就有 ，而这时的
就是
模3的逆（参看“5÷2=6？——是的，模7意义下”），将这个
记作
，那么
就等于
，恰好就是
，对应“凡三三数之剩一，则置七十”一句及“三人同行七十稀”一句。
于是类推得到，
问题1-1-2的解答是 ，恰好就是
，对应“五五数之剩一，则置二十一”一句及“五树梅花廿一枝”一句；
问题1-1-3的解答是 ，恰好就是
，对应“七七数之剩一，则置十五”一句及“七子团圆月正半”一句。
所以将分解的问题复原，可得：
。
最后 ，注意到，如果 满足除以3余2、除以5余3、除以7余2，那么
也同样满足。
因此要计算满足要求的最小的非负整数，就只需要计算总和除以105的余数即可。——对应“除百零五便得知”一句。
下面要讨论的是：如果有多个满足要求的整数，那么它们之间有什么关系呢？
假设 都满足“除以3余a、除以5余b、除以7余c”。
观察 会发现，
满足“除以3余0、除以5余0、除以7余0”。因此
一定是
的倍数。
这也就是说，在“模105同余”的意义下，之前通过分解问题、组合解答的方法所得到的 恰恰就是唯一解。
下面把这个问题一般化：假设整数 两两互素，则对于任意的整数
，方程组
都存在整数解，且若 都满足该方程组，则必有
，其中
。
具体而言， 。
——这就是我非常看重和喜欢的中国剩余定理(Chinese remainder theorem, CRT)。
