PCA（主元分析的四重境界：1.最大方差--投影，2.最小误差--重建/降维，3.高斯先验误差--MLE,4.线性流形对齐）
参考文献：https://www.zhihu.com/question/30094611
作者：史博
链接：https://www.zhihu.com/question/30094611/answer/275172932
来源：知乎
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千万不要小看PCA， 很多人隐约知道求解最大特征值，其实并不理解PCA是对什么东西求解特征值和特征向量。 也不理解为什么是求解特征值和特征向量。 要理解到Hinton对PCA的认知，需要跨过4个境界，而上面仅仅是第1个境界的问题。
为什么要理解PCA？
其实深度学习在成为深度学习以前，主要是特征表达学习， 而特征表达学习追溯到始祖象阶段，主要是无监督特征表达PCA和有监督特征表达LDA。 对了这里LDA不是主题模型的LDA，是统计鼻祖Fisher搞的linear discriminant analysis（参考“Lasso简史”）。 而Hinton在这方面的造诣惊人， 这也是为什么他和学生一起能搞出牛牛的 t-Distributed Stochastic Neighbor Embedding (t-SNE) 。
至于t-SNE为啥牛， 这里给两个对比图片， 然后我们再回到PCA，以后有机会再扩展！
t-SNE vs PCA： 可以看到线性特征表达的局限性
t-SNE 优于 已有非线性特征表达 Isomap, LLE 和 Sammon mapping
依然还记得2004年左右Isomap横空出世的惊奇， 再看t-SNE的诞生，真是膜拜！ 也正是Hinton对PCA能理解到他的境界， 他才能发明t-SNE。
PCA理解第一层境界：最大方差投影
正如PCA的名字一样， 你要找到主成分所在方向， 那么这个主成分所在方向是如何来的呢？
其实是希望你找到一个垂直的新的坐标系， 然后投影过去， 这里有两个问题。 第一问题： 找这个坐标系的标准或者目标是什么？ 第二个问题， 为什么要垂直的， 如果不是垂直的呢？
如果你能理解第一个问题， 那么你就知道为什么PCA主成分是特征值和特征向量了。 如果你能理解第二个问题， 那么你就知道PCA和ICA到底有什么区别了。
对于第一个问题： 其实是要求解方差最小或者最大。 按照这个目标， 你代入拉格朗日求最值， 你可以解出来， 主成分方向，刚好是S的特征向量和特征值！ 是不是很神奇？ 伟大的拉格朗日(参考 "一步一步走向锥规划 - QP" "一挑三 FJ vs KKT ")
现在回答了，希望你理解了， PCA是对什么东西求解特征值和特征向量。 也理解为什么是求解的结果就是特征值和特征向量吧！
这仅仅是PCA的本意！ 我们也经常看到PCA用在图像处理里面， 希望用最早的主成分重建图像：
这是怎么做到的呢？
PCA理解第二层境界：最小重建误差
什么是重建， 那么就是找个新的基坐标， 然后减少一维或者多维自由度。 然后重建整个数据。 好比你找到一个新的视角去看这个问题， 但是希望自由度小一维或者几维。
那么目标就是要最小重建误差，同样我们可以根据最小重建误差推导出类似的目标形式。
虽然在第二层境界里面， 也可以直观的看成忽略了最小特征值对应的特征向量所在的维度。 但是你能体会到和第一层境界的差别么？ 一个是找主成分， 一个是维度缩减。 所以在这个层次上，才是把PCA看成降维工具的最佳视角。
PCA理解第三层境界：高斯先验误差
在第二层的基础上， 如果引入最小二乘法和带高斯先验的最大似然估计的等价性。（参考"一步一步走向锥规划 - LS" “最小二乘法的4种求解” ） 那么就到了理解的第三层境界了。
所以， 重最小重建误差， 我们知道求解最小二乘法， 从最小二乘法， 我们可以得到高斯先验误差。
有了高斯先验误差的认识，我们对PCA的理解， 进入了概率分布的层次了。 而正是基于这个概率分布层次的理解， 才能走到Hinton的理解境界。
PCA理解第四层境界(Hinton境界)：线性流形对齐
如果我们把高斯先验的认识， 到到数据联合分布， 但是如果把数据概率值看成是空间。 那么我们可以直接到达一个新的空间认知。
这就是“Deep Learning”书里面写的， 烙饼空间（Pancake）， 而在烙饼空间里面找一个线性流行，就是PCA要干的事情。 我们看到目标函数形式和最小重建误差完全一致。 但是认知完全不在一个层次了。
小结
这里罗列理解PCA的4种境界，试图通过解释Hinton如何理解PCA的， 来强调PCA的重要程度。 尤其崇拜Hinton对简单问题的高深认知。不仅仅是PCA，尤其是他对EM算法的再认识， 诞生了VBEM算法， 让VB算法完全从物理界过渡到了机器学习界（参考 “变の贝叶斯”）。 有机会可以看我对EM算法的回答，理解EM算法的8种境界。
