21.10.7 T4
神题
对于\(100\)%的数据，满足\(1 \leq k\leq m\leq n\), \(\ m\leq4\),\(\ n\leq 10^{12}\)
sol
首先是题意翻译：
给定一个区间\([1,n]\),给定子集大小\(m\)，求对于所有的子集，其中有多少大小为\(k\)的子集（即子集的子集）满足其内元素和是该子集元素和的约数。
大型找规律现场。
1.m=1,k=1.
答案显然为从\(n\)个数中任取一个，则答案为\(n\)
2.m=2,k=1.
对于所有的\(a_1<a_2\)，当且仅当\(a_2 \mid a_1\)，\(a_2 \mid (a_1+a_2)\),则答案为\(\sum_{i=1}^n\lfloor \frac{n}{i}-1 \rfloor\)
3.m=2,k=2.
答案为从\(n\)个数中选两个数，即为\((^n_2)\)
4.m=3,k=1.
解不定方程\(xa_1=(a_1+a_2+a_3)\),\(ya_2=(a_1+a_2+a_3)\),\(za_3=(a_1+a_2+a_3)\)得到唯一解\(x=2,y=3,z=6\)
则\(a_1=2k,a_2=3k,a_3=6k\)，答案为\(\lfloor \frac{n}{3} \rfloor\)
5.m=3,k=2
类似的，列出方程
\((a_1+a_2)\mid(a_1+a_2+a_3)\)
\((a_2+a_3)\mid(a_1+a_2+a_3)\)
反证一波，发现当且仅当\((a_1+a_2)\mid a_3\)时成立，那么我们只用考虑\(a_1,a_2\)的拆分方案即可。
套路化的，我们定序，枚举\(a_1\),\(a_2\)直接计算得出，显然\(a_1\)不能等于\(a_2\)，但只当\(2\mid a_3\)时该种情况会出现。
对于\(a_1,a_2\)不等的情况，若我们直接计算，则会恰好多算一次，所以还需要除以\(2\).
最终方程为\(\sum_{i=1}^n\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \times \frac{i-1-[i|2]}{2}\)
6.m=3,k=3
类似的，\(n\)个之中选三个，为\((^n_3)\)
7.m=4,k=1
一个更复杂的不定方程（话说真就不定方程呗）。
具体解法见题解（）.
最终解得\(x,y,z,w\)有\((2,3, 7, 42),(2, 3, 8, 24),(2, 3, 9, 18),(2, 3, 10, 15),(2, 4, 5, 20)
(2, 4, 6, 12)\)的解。
所以所以 {a1, a2, a3, a4}= {k, 2k, 3k, 6k},{k, 2k, 6k, 9k},{k, 3k, 8k, 12k},{k, 4k, 5k, 10k}
,{k, 6k, 14k, 21k},{2k, 3k, 10k, 15k}
由于必须存在\(n\)使得存在\(a_1<a_2<a_3<a_4\),观察到当\(n \geq6\)时存在第一组合法的解\((1,2,3,6)\)，所以我们对于\(n=4,n=5\)的情况特判一波，对于\(n\geq6\)的情况按整除处理即可。
方程为
当\(n=4,5\)时，\(ans=1\)
\(else\),\(ans=\lfloor \frac{n}{6} \rfloor+\lfloor \frac{n}{9} \rfloor+\lfloor \frac{n}{10} \rfloor+\lfloor \frac{n}{12} \rfloor+\lfloor \frac{n}{15} \rfloor+\lfloor \frac{n}{21} \rfloor\)
8.m=4,k=2
因为命题\((a_2+a_4)\nmid(a_1+a_3)->(a_2+a_4)\nmid(a_1+a_2+a_3+a_4)\)显然成立，其逆否命题\((a_2+a_4)\mid(a_1+a_2+a_3+a_4)->(a_2+a_4)\mid(a_1+a_3)\)也显然成立。
同理，命题\((a_1+a_3)\mid(a_1+a_2+a_3+a_4)->(a_1+a_3)\mid(a_2+a_4)\)也应当成立。
我们取四个条件
\(a_1+a_2\mid a_3+a_4\)
$ a_1+a_3 \mid a_2+a_4$
\(a_2+a_3\mid a_1+a_4\)
\(a_1+a_4 \mid a_2+a_3\).
显然由条件三，四可以得到\(a_1+a_4=a_2+a_3\),令\(k_1(a_1+a_3)=a_2+a_4\),\(k_2(a_1+a_2)=a_3+a_4\)，经过一系列不等变换，可得{a1, a2, a3, a4}= {k, 5k, 7k, 11k}或 {k, 11k, 19k, 29k}。
同理，该种情况只当\(n\geq 11\)时才有解，所以对于\(n\leq 11\)，需要特判。
总方程为
\(ans=1,n=4.5.6\)
\(ans=3,n=7\)
\(ans=6,n=8\)
\(ans=9,n=9\)
\(ans=10,n=10\)
\(ans=\lfloor \frac{n}{11}\rfloor+\lfloor \frac{n}{29} \rfloor\)
9.m=4,k=3
与\(m=3\)的推法类似，易得其充要条件为\((a_1+a_2+a_3)\mid a_4\),考虑给\(a_1,a_2,a_3\)定序，具体过程略.
方程为
\(ans=1,n=4\)
\(ans=4,n=5\)
\(ans=\sum_{i=1}^n \times\frac{i^2-6i+5+3[2\mid i]+4[3\mid i]}{12}\)
10.m=4,k=4
等价于\(n\)个里面选\(4\)个。
