题解 IOI2016 railroad （Luogu P6168）

好题。（等于我基本上不会做的题）

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题目大意：

有n个站台，每个站台有一个参数\((s,t)\)表示进入站台时火车速度不超过\(s\)，出站台时火车速度为\(t\)。

可以用\(x\)的代价让火车速度减少\(x\)，火车初始速度为\(1\)。

问最少的代价让所有站台恰好经过一次。

完整版题面

solution

将火车速度看做点，每一个车站\((s,t)\)建一条\(s->t\)的边，同时我们加上一个\(inf->1\)的车站，我们要求的就是一条代价最小的经过所有这些边的欧拉回路。

将“进入路段时速度\(≤si\)”转换为：“进入路段时速度恰好等于\(si\)，并且铺设铁轨有加速和减速两种，加速无需代价，减速每\(1\)花费\(1\)的代价”。即\(x\)走向\(x+1\)不需要代价，而\(x+1\)走向\(x\)需要\(1\)的代价。

将车站离散化，之后然后考虑一段区间\([x,x+1]\)，在欧拉回路中从左往右经过它的次数应该等于从右往左经过的次数。记\(bal\)为两者之差，则：

1. 如果\(bal\)为负则可以直接加\(-bal\)条边(加速免费)
2. 否则需要花\(bal\)的代价加\(bal\)条边

由于进行了离散化，不会存在不连通的点，于是我们直接跑一遍\(MST\)即可

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define int long long
#define N 500002
using namespace std;
const int inf=1<<30;
struct edge{
	int u,v,w;
}e[N];
int n,m,op,i,l[N],r[N],a[N],cnt,d[N],fa[N],ans;
inline int read(){
    int x=0,flag=1; char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') flag=0;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+c-48;c=getchar();}
    return flag? x:-x;
}
int find(int x){
	if(fa[x]!=x) fa[x]=find(fa[x]);
	return fa[x];
}
int my_comp(const edge &a,const edge &b){
	return a.w<b.w;
}
signed main(){
	n=read();op=read();
	for(i=1;i<=n;i++){
		l[i]=read();r[i]=read();
		a[++cnt]=l[i];a[++cnt]=r[i];
	}
	a[++cnt]=inf;a[++cnt]=-inf;
	sort(a+1,a+cnt+1);
	cnt=unique(a+1,a+cnt+1)-a-1;
	for(i=1;i<=n;i++){
		l[i]=lower_bound(a+1,a+cnt+1,l[i])-a;
		r[i]=lower_bound(a+1,a+cnt+1,r[i])-a;
	}
	for(i=1;i<=cnt;i++)fa[i]=i;
	d[2]=-1;d[cnt]=1;
	for(i=1;i<=n;i++){
		d[l[i]+1]++,d[r[i]+1]--;
		fa[find(l[i])]=find(r[i]);
	}
	for(i=1;i<=cnt;i++) d[i]+=d[i-1];
	for(i=2;i<=cnt;i++){
		if(d[i]==0) continue;
		if(d[i]>0) ans+=d[i]*(a[i]-a[i-1]);
		fa[find(i-1)]=find(i);
	}
	for(i=2;i<cnt-1;i++){
		if(find(i)!=find(i+1)) e[++m]=(edge){i,i+1,a[i+1]-a[i]};
	}
	sort(e+1,e+m+1,my_comp);
	for(i=1;i<=m;i++){
		int f1=find(e[i].u),f2=find(e[i].v);
		if(f1!=f2){
			ans+=e[i].w;
			fa[f1]=f2;
		}
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}