Min-Max 容斥

Min-Max 容斥

基本形式

\[\max(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1}\min(T) \\ \min(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1}\max(T) \]

证明

设 \(|T|=n\)，\(\max\) 为 \(T\) 集合中最大元素

考虑 \(|T|=1\) 的情况，此时我们需要的仅仅是一个值，但是我们加上了 \(n\) 个值

然后我们就要考虑在 \(|T|=2\) 时去除

如何去除呢？不难想到就是利用 \(T=\{\max,i\}\) 去除，\(i\) 是我们要去除的元素

但是此时会多减，如何加上呢？这就是在 \(|T|=3\) 的时候的工作了

以此类推，就证得了

Kth形式

\[\max(k,S)=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-k}\binom{|T|-1}{k-1}\min(T) \]

证明

仿照上例显然，留给读者思考

确实不难啊不要打我qwq

应用

没写，咕咕咕