单位根反演
单位根反演
式子
\[[n|k]=\dfrac 1 n \sum\limits_{i=0}^{n-1}\omega^{ik}_n
\]
证明有亿丶简单，这里就不放了
应用
\((1)\)
对于 \([a=b\pmod n]\) 这个东西，我们可以发现就是在问你 \(a\) 与 \(b\) 是否模 \(n\) 同余
所以
\[[a=b\pmod n]\Rightarrow[n|(a-b)]
\]
于是就可以直接算了
\[[n|(a-b)]=\dfrac 1 n\sum\limits_{i=0}^{n-1}\omega_{n}^{ia-ib}
\]
LOJ6485. LJJ 学二项式定理
傻逼题
\[\begin{align*}
\dfrac 1 4\sum\limits_{i=0}^n\binom{n}{i}s^i\sum\limits_{j=0}^3[4|(i-j)]a_j&=
\dfrac 1 4\sum\limits_{i=0}^n\binom{n}{i}s^i\sum\limits_{j=0}^3a_j\sum\limits_{k=0}^3w^{ik}_4w^{-jk}_4
\\
&=\dfrac 1 4\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{j=0}^3\sum\limits_{k=0}^3\binom n is^ia_jw^{ik}_4w^{-jk}_4
\\
&=\dfrac 1 4\sum\limits_{j=0}^3a_j\sum\limits_{k=0}^3w^{-jk}_4(sw^k_4+1)^n
\end{align*}
\]
P5591 小猪佩奇学数学
不难题
以下设 \(m=998244353\)
\[\begin{align*}
\sum\limits_{i=0}^np^i\binom n i\left\lfloor\dfrac i k\right\rfloor&=\dfrac 1 k \sum\limits_{i=0}^np^i\binom n i(i-i\bmod m)
\\
&=\dfrac 1 k\sum\limits_{i=0}^np^i\binom n ii-\sum\limits_{i=0}^np^i\binom n ii\bmod m
\\
&=\dfrac 1 knp(p+1)^{n-1}-\sum\limits_{i=0}^np^i\binom n i\sum\limits_{j=0}^{k-1}j[i\bmod k=j]
\end{align*}
\]
我们对式子的右面进行讨论
\[\begin{align*}
\sum\limits_{i=0}^np^i\binom n i\sum\limits_{j=0}^{k-1}j[i\bmod k=j]&=\dfrac 1 k\sum\limits_{i=0}^np^i\binom n i\sum\limits_{j=0}^{k-1}j\sum\limits_{q=0}^{k-1}w^{iq}_kw^{-jq}_k
\\
&=\dfrac 1 k\sum\limits_{j=0}^{k-1}j\sum\limits_{q=0}^{k-1}w^{-jq}_k(pw^q_k+1)^n
\tag{1}
\\
&=\dfrac 1 k\sum\limits_{q=0}^{k-1}(pw^q_k+1)^n\sum\limits_{j=0}^{k-1}jw^{-jq}_k
\end{align*}
\]
笔者推式子到 \((1)\) 处时，以为本题已经结束了，但是随后发现直接计算是 \(O(k^2)\) 的
于是将杂项划到一起，发现这个东西有很强的性质
我们用一个直观的形式做扰动
于是设：
\[S_n=\sum\limits_{i=0}^{n-1}ix^i
\]
此时就有：
\[\begin{align*}
S_n+nx^n&=x\sum\limits_{i=1}^nix^{i-1}
\\
&=x\sum\limits_{i=1}^n(i+1)x^i
\\
&=xS_n+x\dfrac{1-x^n}{1-x}
\\
1-x&=\dfrac{x\frac{1-x^n}{1-x}-nx^n}{1-x}
\\
S_n&=x\frac{1-x^n}{(1-x)^2}-\dfrac{nx^n}{1-x}
\end{align*}
\]
当 \(x=1\) 时就有 \(S_n=\dfrac{n(n-1)}{2}\)
于是就可以直接做了
\[\sum\limits_{q=0}^{k-1}(pw^q_k+1)^n\sum\limits_{j=0}^{k-1}jw^{-jq}_k=
\begin{cases}
\sum\limits_{q=0}^{k-1}\frac{k}{w_{k}^{k-q}-1}(pw^q_k+1)^n&x\ne 1
\\
\sum\limits_{q=0}^{k-1}\frac{k(k-1)}2(pw^q_k+1)^n&x=1
\end{cases}
\]
