圆方树

圆方树相关知识

我们在做题的时候会发现：很多时候树比图好维护的多

例如求两点间路径长度，链上加法等

而在一些题中，应用圆方树能将图化为一棵树

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圆方树最初用来处理仙人掌图，但是我们很多时候也能在一般无向图上使用

首先抛一个很大众的名词：点双连通图

点双连通图就是一个任意两点间都有至少两条除起点终点外，中间点不重复的路径的图

用兔队的话说一个近乎等价的定义就是不存在割点的图

为啥说是近乎等价呢？因为这个图：

它没有割点，但是不是点双联通

然后是另一个名词：点双联通分量

点双联通分量就是一个极大的点双联通子图

一个点可能属于多个点双，但是一条边恰好属于一个，或是不属于任何一个点双

我们把每个点双缩成一个方点，然后原来的点双上的点向方点连边

我们会发现原来的割点就是点双分割点，每个点双形成了一个星图

圆方树的构建

我们利用tarjan算法构建圆方树

fx(void,tarjan)(int now){
	low[now]=dfn[now]=++dfsc;
	stk[++top]=now;
//tarjan基本操作
	ann+=1;
//统计一个联通图中的点的个数
	for(R int i=head[now];i;i=e[i].na){
		if(!dfn[e[i].np]){
//是否访问过
			tarjan(e[i].np);
			low[now]=min(low[now],low[e[i].np]);
//追溯
			if(low[e[i].np]==dfn[now]){
				cnt+=1;
//方点+1
				do{
					add(sqh,sqe,snum,cnt,stk[top]);
					add(sqh,sqe,snum,stk[top],cnt);
					sqrn[cnt]+=1;
				} while(stk[top--]!=e[i].np);
				add(sqh,sqe,snum,cnt,now);
				add(sqh,sqe,snum,now,cnt);
//点双上的点向方点连边
			}
		} else low[now]=min(low[now],dfn[e[i].np]);
//访问过，更新
	}
}

圆方树例题

P4630 [APIO2018] Duathlon 铁人两项

题目链接

求互不相同的三元组 \(\langle s,c,f\rangle\) 的个数，其中 \(\langle s,c,f\rangle\) 表示存在一条简单路径 \(s\to f\)，这条路径经过 \(c\)

有个显然的性质：给定一个点双中的点 \(a\)，点双中的另外两个点 \(b,c\) 之间一定存在一条简单路径经过 \(a\)

那么所有路径并起来，就恰好完全等于这个点双

设方点集合为 \(S\)，路径集合为 \(R\)，设 \(s\in S,r\in R\) 那么 \(s\in r\) 当且仅当这条路径经过 \(s\)

本题就是求：

\[\sum\limits_{s\in S}\sum\limits_{r\in s}1 \]

设一个方点上面有 \(n\) 个子树，下面有 \(m\) 个子树，此方点做出的贡献就是

\[\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m \text{size}_i\times \text{size}_j \]

利用乘法结合律即可 \(O(n)\) 求出

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define N 1000001
#define M 5001
#define INF 1100000000
#define Kafuu return
#define Chino 0
#define fx(l,n) inline l n
#define set(l,n,ty,len) memset(l,n,sizeof(ty)*len)
#define cpy(f,t,ty,len) memcpy(t,f,sizeof(ty)*len)
#define int long long
#define R register
#define C const
using namespace std;
int n,m,fr,to,head[N],sqh[N],num,snum,sqrn[N],cnt,dfsc,dfn[N],low[N],ann,top,stk[N],size[N],ans;
struct Edge{
	int na,np;
}e[N],sqe[N];
fx(void,add)(int *head,Edge *e,int &num,int f,int t){
	e[++num].na=head[f];
	e[num].np=t;
	head[f]=num;
}
fx(int,gi)(){
	R char c=getchar();R int s=0,f=1;
	while(c>'9'||c<'0'){
		if(c=='-') f=-f;
		c=getchar();
	}
	while(c<='9'&&c>='0') s=(s<<3)+(s<<1)+(c-'0'),c=getchar();
	return s*f;
}
fx(void,tarjan)(int now){
	low[now]=dfn[now]=++dfsc;
	stk[++top]=now;
	ann+=1;
	for(R int i=head[now];i;i=e[i].na){
		if(!dfn[e[i].np]){
			tarjan(e[i].np);
			low[now]=min(low[now],low[e[i].np]);
			if(low[e[i].np]==dfn[now]){
				cnt+=1;
				do{
					add(sqh,sqe,snum,cnt,stk[top]);
					add(sqh,sqe,snum,stk[top],cnt);
					sqrn[cnt]+=1;
				} while(stk[top--]!=e[i].np);
				add(sqh,sqe,snum,cnt,now);
				add(sqh,sqe,snum,now,cnt);
				sqrn[cnt]+=1;
			}
		} else low[now]=min(low[now],dfn[e[i].np]);
	}
}
fx(void,tdp)(int now,int fa){
	if(now<=n) size[now]=1;
	for(R int i=sqh[now];i;i=sqe[i].na){
		if(sqe[i].np==fa) continue;
		tdp(sqe[i].np,now);
		ans+=sqrn[now]*size[now]*size[sqe[i].np]*2;
		size[now]+=size[sqe[i].np];
	}
	ans+=sqrn[now]*size[now]*(ann-size[now])*2;
}
signed main(){
	n=gi(),m=gi();cnt=n;
	for(R int i=1;i<=n;i++) sqrn[i]=-1;
	for(R int i=1;i<=m;i++){
		fr=gi();to=gi();
		add(head,e,num,fr,to);
		add(head,e,num,to,fr);
	}
	for(R int i=1;i<=n;i++){
		if(!dfn[i]){
			ann=0;
			tarjan(i);
			top-=1;
			tdp(i,0);
		}
	}
	printf("%lld\n",ans);
}