【知识总结】约数个数定理和约数和定理及其证明

据说这俩是小学奥数内容？完了我菜成一团没上过小学

本文只研究正整数\(A\)的约数个数和约数和。首先对\(A\)分解质因数

\[A=\prod_i^n p_i^{a_i} \ (p_i是质数) \]

约数个数定理

先看结论

\[num=\sum_i^n (a_i+1) \]

考虑对于\(A\)的任意一个约数\(a\)，都显然存在唯一的数列\(a'\)使

\[a=\prod_i^n p_i^{a'_i} \ (0 \leq a'_i \leq a_i) \]

由唯一分解定理得，每一个符合条件的数列\(a'\)都对应\(A\)的一个约数，反之亦然。由乘法原理得共有\((a_1+1)*(a_2+1)...*(a_n+1)\)种数列\(a'\)，得证。

约数和定理

同样先看结论：

\[sum=\prod_{i=1}^n\sum_{j=0}^{a_i}p_i^j \]

首先考虑\(n=1\)的情况，即\(A=p^a \ (p是质数)\)，显然约数和是\(\sum_{i=0}^{a}p^i\)

当\(n>1\)，如果已知了\(x=A/{p_n^{a_n}}\)的约数和\(sum'\)，如何求\(A\)的约数和\(sum\)呢？

显然，给每个\(x\)的约数\(x'\)均乘上每一个\(p_n^i \ (0 \leq i \leq a_n)\)，就构成了\(A\)的约数集合。那么就得到

\[sum=\sum \left(x'*\sum _{i=0}^{a_n}p_n^i\right) \]

由乘法分配律得到

\[sum=sum'*\sum _{i=0}^{a_n}p_n^i \]

又由当\(n=1\)时\(sum=\sum_{i=0}^{a}p^i\)递推得到最终的结论。