【知识总结】数学必修四、必修五三角函数公式总结
博主退役了。
博主去学文化课了。
博主发现文化课好难。
博主学不动了。
诱导公式
先给出一张重要的图
（快感谢我这次用 Geogebra 画图而不是 MS-Paint）
第一组
\[\sin (\alpha+k\cdot 2\pi)=\sin\alpha(k\in Z)
\]
\[\cos (\alpha+k\cdot 2\pi)=\cos\alpha(k\in Z)
\]
\[\tan (\alpha+k\cdot 2\pi)=\tan\alpha(k\in Z)
\]
第二组
\[\sin(\alpha+\pi)=-\sin \alpha
\]
\[\cos(\alpha+\pi)=-\cos\alpha
\]
\[\tan(\alpha+\pi)=\tan\alpha
\]
第三组
\[\sin(-\alpha)=-\sin\alpha
\]
\[\cos(-\alpha)=\cos\alpha
\]
\[\tan(-\alpha)=-\tan\alpha
\]
第四组
\[\sin(\pi-\alpha)=\sin \alpha
\]
\[\cos(\pi-\alpha)=\cos\alpha
\]
\[\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha
\]
以上四组根据上图显然。
第五组
\[\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos\alpha
\]
\[\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha
\]
\[\tan(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\frac{1}{\tan\alpha}
\]
这是常识（雾）。
第六组
\[\sin(\alpha+\frac{\pi}{2})=\cos\alpha
\]
\[\cos(\alpha+\frac{\pi}{2})=-\sin\alpha
\]
\[\tan(\alpha+\frac{\pi}{2})=-\frac{1}{\tan\alpha}
\]
证明：
\[\begin{aligned}
\sin(\alpha+\frac{\pi}{2})
&=\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha-\frac{\pi}{2})\\
&=\cos(-\alpha)\\
&=\cos \alpha
\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}
\cos(\alpha+\frac{\pi}{2})
&=\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha-\frac{\pi}{2})\\
&=\sin(-\alpha)\\
&=-\sin \alpha
\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}
\tan(\alpha+\frac{\pi}{2})
&=\frac{\sin(\alpha+\frac{\pi}{2})}{\cos(\alpha+\frac{\pi}{2})}\\
&=\frac{\cos\alpha}{-\sin\alpha}\\
&=-\frac{1}{\tan\alpha}
\end{aligned}\]
和差角公式
\[\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta
\]
\[\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta
\]
\[\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta
\]
\[\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta
\]
证明：如图所示，\(A(\cos\alpha,\sin\alpha)\)，\(B(\cos\beta,\sin\beta)\) 。
此处需要用到向量点积。
\[\begin{aligned}
\cos(\alpha-\beta)&=
\frac{\vec{OA}\cdot\vec{OB}}{|\vec{OA}||\vec{OB}|}\\
&=\frac{x_Ax_B+y_Ay_B}{1\times1}\\
&=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta
\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}
\cos(\alpha+\beta)
&=\cos\left(\alpha-(-\beta)\right)\\
&=\cos\alpha\cos(-\beta)+\sin\alpha\sin(-\beta)\\
&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\\
\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}
\sin(\alpha-\beta)
&=\cos(\frac{\pi}{2}-(\alpha-\beta))\\
&=\cos((\frac{\pi}{2}-\alpha)+\beta))\\
&=\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)\cos\beta-\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)\sin\beta\\
&=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\\
\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}
\sin(\alpha+\beta)
&=\cos(\frac{\pi}{2}-(\alpha+\beta))\\
&=\cos((\frac{\pi}{2}-\alpha)-\beta))\\
&=\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)\cos\beta+\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)\sin\beta\\
&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\
\end{aligned}\]
二倍角公式
\[\cos(2\alpha)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha
\]
\[\sin(2\alpha)=2\cos\alpha\sin\alpha
\]
将 \(2\alpha\) 带入加法公式即可。
\[\tan(2\alpha)=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}
\]
证明：
\[\begin{aligned}
\tan(2\alpha)
&=\frac{\sin{2\alpha}}{\cos{2\alpha}}\\
&=\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}\\
&=\frac{\frac{2\sin\alpha}{\cos\alpha}}{1-\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}\\
&=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}
\end{aligned}
\]
半角公式
\[\cos(\frac{\alpha}{2})=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}
\]
\[\sin(\frac{\alpha}{2})=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}
\]
证明：
\[\begin{aligned}
\cos\alpha&=2\cos^2(\frac{\alpha}{2})-1\\
\cos(\frac{\alpha}{2})&=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}\\
\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}
\cos\alpha&=1-2\sin^2(\frac{\alpha}{2})\\
\sin(\frac{\alpha}{2})&=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}\\
\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}
\tan(\frac{\alpha}{2})&=\frac{\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})}\\
&=\frac{\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}}{\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}}\\
&=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+cos\alpha}}
\end{aligned}\]
正弦定理
\[\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R
\]
其中 \(R\) 是外接圆半径。
余弦定理
\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
\]
