【知识总结】微积分入门（《微积分的本质》学习笔记）

参考资料：【官方双语/合集】微积分的本质 - 系列合集 - 3Blue1Brown - bilibili （搭配食用体验更佳）

这篇文章中有很多内容都推荐用 数形结合 的方法来学习。

导数入门

两种重要的、针对函数的运算：求导与积分。它们的运算结果也是一个函数。

先说求导。对于函数 \(f(x)\) ，它的 导函数 （即求导运算的结果，简称导数）记作 \(f'(x)\) 。简单来说，\(f'(x_0)\) 就是\(f(x)\) 在 \(x_0\) 这点的切线斜率。即， \(f'(x)\) 是 \(f(x)\) 的切线斜率关于切点横坐标的函数。

为了方便描述，引入一个表示「微小变化量」（自己起的名字）的符号。以后默认用 \(dx\) 表示变量 \(x\) 的变化量（ \(dy\) 表示变量 \(y\) 的变化量，以此类推），且 \(dx\) 趋近于 \(0\) 。那么对于 \(x_0\) 和它的函数值 \(f(x)=y\) ，设当 \(x\) 增加了 \(dx\) 时 \(y\) 增加了 \(dy\) 。由于这个变化量是「微小」（趋近于 \(0\) ）的，所以 \(x\) 和 \(x+dx\) 之间的函数图象可以近似成一条直线，它的斜率就是 \(\frac{dy}{dx}\) 。因此，有时也把导函数写成 \(f'(x)=\frac{dy}{dx}\) 。注意，不同的 \(x\) 会造成 \(dy\) 取不同的值。

有点懵？先从最简单的例子——一次函数说起。显然，无论 \(x\) 如何改变，也无论 \(dx\) 取何值（哪怕不趋近于 \(0\) ） ，\(\frac{dy}{dx}\) 都是一个定值，即这个一次函数的斜率 \(k\) （换句话说，这个一次函数处处的切线都与它本身重合）。因此，一次函数的导数是一个常函数 \(f'(x)=k\) 。

再举一个稍复杂的例子。对于 \(f(x)=x^2\) ，可以这样求出它的导函数：

\[\begin{aligned} f'(x)&=\frac{dy}{dx}\\ &=\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}\\ &=\frac{(x+dx)^2-x^2}{dx}\\ &=\frac{2dx\cdot x+dx^2}{dx}\\ &=2x+dx\end{aligned}\]

由于 \(dx\) 趋近于 \(0\) ，所以 \(f'(x)=2x\) 。于是我们成功算出了 \(f(x)=x^2\) 的导数是 \(f'(x)=2x\) 。 鼓掌！

不妨再拓展一下，证明 \(f(x)=x^k\) 的导数是 \(f'(x)=kx^{k-1}\) 。做法和刚才类似（其中用了一次二项式定理）：

\[\begin{aligned} f'(x_0)&=\frac{f(x_0+dx)-f(x_0)}{dx}\\ &=\frac{(x_0+dx)^k-x_0^k}{dx}\\ &=\frac{\sum_{i=0}^{k}C_k^ix_0^idx^{k-i}-x_0^k}{dx}\\ &=\frac{\sum_{i=0}^{k-1}C_k^ix_0^idx^{k-i}}{dx}\\ &=\sum_{i=0}^{k-1}C_k^ix_0^idx^{k-i-1} \end{aligned}\]

到这里似乎不知道怎么办了？别忘了 \(dx\) 趋近于 \(0\) ，所以只有 \(k-i-1=0\) 即 \(i=k-1\) 这一项是非 \(0\) 的！激动.jpg 。所以，\(f'(x_0)=kx_0^{k-1}\) 。\(x_0\) 是任意的，所以 \(f'(x)=kx^{k-1}\) 。

导数的运算

导数的加减

\[h(x)=f(x)+g(x),h'(x)=f'(x)+g'(x) \]

设 \(y_f=f(x)\) ，\(y_g=g(x)\) ，\(y_h=h(x)\) （类似的记号下面不再赘述） ，同时别忘了 \(f'(x)=\frac{dy_f}{dx}\) ， \(g'(x)=\frac{dy_g}{dx}\) ，则有：

\[\because y_h=y_f+y_g,(y_h+dy_h)=(y_f+dy_f)+(y_g+dy_g)\]

\[\begin{aligned}\therefore dy_h&=dy_f+dy_g\\ &=f'(x)dx+g'(x)dx\\ &=(f'(x)+g'(x))dx\end{aligned}\]

两边同时除以 \(dx\) ，得到 \(h'(x)=\frac{dy_h}{dx}=f'(x)+g'(x)\) 。

导数的乘法

\[h(x)=f(x)g(x),h'(x)=f(x)g'(x)+f'(x)g(x) \]

口诀：「左乘右导，右乘左导」（来自文首的视频）

证明如下：

\[\because y_h=y_f\cdot y_g,(y_h+dy_h)=(y_f+dy_f)\cdot(y_g+dy_g)\]

\[\begin{aligned}\therefore dy_h&=y_f\cdot y_g+y_f\cdot dy_g + y_g \cdot dy_f+dy_f\cdot dy_g-y_h\\ &=y_f\cdot dy_g + y_g \cdot dy_f+dy_f\cdot dy_g\\ &=f(x)\cdot g'(x)dx+g(x)\cdot f'(x)dx+f'(x)dx\cdot g'(x)dx\\ \end{aligned}\]

两边同时除以 \(dx\) 得：

\[h'(x)=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)+f'(x)g'(x)dx \]

同样，带 \(dx\) 的项趋近于 \(0\) ，因此 \(h'(x)=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)\) 。

链式法则

若 \(h(x)=f(g(x))\) ，则 \(h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)\) 。

这个证明口胡一发吧，我实在不知道怎么表述了 ……

当自变量从 \(x_0\) 变成 \(x_0+dx\) ，则 \(y_f\) 的变化量是 \(f'(x_0)dx\) 。现在，\(g\) 的自变量的变化量是 \(dx\) ，\(y_g\) 的变化量是 \(g'(x)dx\) ，所以 \(y_f\) 的变化量是 \(f'(g(x))\cdot g'(x)dx\) （注意 \(f\) 的自变量的初值是 \(g(x)\) 不是 \(x\) ）。因此 \(h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)\) 。

导数的除法

若 \(h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\) ，则 \(h'(x)=\frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}\)

证明：

\[\because y_h=\frac{y_f}{y_g},(y_h+dy_h)=\frac{y_f+dy_f}{y_g+dy_g} \]

\[\begin{aligned} \therefore dy_h&=\frac{y_f+dy_f}{y_g+dy_g}-\frac{y_f}{y_g}\\ &=\frac{y_g(y_f+dy_f)-y_f(y_g+dy_g)}{y_g(y_g+dy_g)}\\ &=\frac{g(x)f(x)+g(x)f'(x)dx-f(x)g(x)-f(x)g'(x)dx}{g(x)^2+g(x)g'(x)dx}\\ &=\frac{g(x)f'(x)dx-f(x)g'(x)dx}{g(x)^2+g(x)g'(x)dx}\\ \end{aligned}\]

两边同时除以 \(x\) ，得到：

\[h'(x)=\frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2+g(x)g'(x)dx} \]

由于 \(dx\) 趋于 \(0\) ，所以：

\[h'(x)=\frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2} \]

常见函数的导数

（NOI 前临时抱佛脚用的，想到再补充）

\(f(x)\)	\(f'(x)\)
\(a\)	\(0\)
\(x^k\)	\(kx^{k-1}\)
\(e^x\)	\(e^x\)
\(\ln(x)\)	\(\frac{1}{x}\)
\(\sin(x)\)	\(\cos(x)\)
\(\cos(x)\)	\(-\sin(x)\)