【BZOJ3309】DZY Loves Math（线性筛）
题目：
分析：
首先，经过一番非常套路的莫比乌斯反演（实在懒得写了），我们得到：
那么，我们现在如果预处理出 \(g(n)=\sum_{d|n}f(d)\mu(\frac{n}{d})\) 的前缀和，就可以数论分块 \(O(\sqrt{n})\) 处理每次询问了。
\(\mu\) 函数有一个重要的性质：当 \(n\) 是某个数平方的倍数时（即某个质因子的次数不小于 \(2\) ）， \(\mu(n)=0\) 。所以，真正有贡献的项只能是 \(\frac{n}{d}\) 的质因子互不相同的项，共有 \(2^k\) 项，其中 \(k\) 是 \(n\) 的质因子种数（相当于每种质因子的次数要么为 \(0\) ，要么为 \(1\) ）。
设这 \(k\) 个质因子中有 \(a\) 个的次数为 \(f(n)\) ，则这 \(2^k\) 项中有 \(2^{k-a}\) 项的 \(f(d)\) 为 \(f(n)-1\) （即这 \(a\) 个质因子 全部 选入 \(\frac{n}{d}\) 的情况），其余情况为 \(f(n)\) 。根据 \(\mu\) 的定义，每一项乘上的系数与选了多少个质因子进入 \(\frac{n}{d}\) 有关，奇数为 \(-1\) ，偶数为 \(1\) 。而这 \(2^{k-a}\) 项中（暂定 \(k>a\) ），选的质因子数为奇数、偶数的项数相等，所以和为 \(0\) 。同理，剩下 \(2^k-2^{k-a}\) 项之和也是 \(0\)
但是，当 \(k=a\) 时，\(f(d)=f(n)-1\) 的只有 \(2^{k-a}=1\) 项，绝对值为 \(f(n)-1\) 而不是 \(0\) 。同时，此时 \(f(d)=f(n)\) 的项也是奇数个，和的绝对值为 \(f(n)\) 。这两项具体的符号与 \(k\) 的奇偶性有关（并且一定符号相反）。稍微推一下可得，当 \(k\) 为奇数， \(g(n)=1\) ；当 \(k\) 为偶数， \(g(n)=-1\) 。
综上可得
代码：
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cstring>
using namespace std;
namespace zyt
{
template<typename T>
inline bool read(T &x)
{
char c;
bool f = false;
x = 0;
do
c = getchar();
while (c != EOF && c != '-' && !isdigit(c));
if (c == EOF)
return false;
if (c == '-')
f = true, c = getchar();
do
x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
while (isdigit(c));
if (f)
x = -x;
return true;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{
static char buf[20];
char *pos = buf;
if (x < 0)
putchar('-'), x = -x;
do
*pos++ = x % 10 + '0';
while (x /= 10);
while (pos > buf)
putchar(*--pos);
}
typedef long long ll;
const int N = 1e7 + 10;
int prime[N], f[N], g[N], num[N], cnt[N], tot[N], pcnt;
bool mark[N];
void init()
{
f[1] = 0;
for (int i = 2; i < N; i++)
{
if (!mark[i])
prime[++pcnt] = i, f[i] = num[i] = cnt[i] = tot[i] = 1;
for (int j = 1; j <= pcnt && (ll)i * prime[j] < N; j++)
{
int k = i * prime[j];
mark[k] = true;
if (i % prime[j] == 0)
{
num[k] = num[i] + 1;
f[k] = max(f[i], num[k]);
tot[k] = tot[i];
if (f[i] == num[k])
cnt[k] = cnt[i] + 1;
else if (f[i] > num[k])
cnt[k] = cnt[i];
else
cnt[k] = 1;
break;
}
else
{
num[k] = 1;
f[k] = max(f[i], 1);
tot[k] = tot[i] + 1;
if (f[i] == 1)
cnt[k] = cnt[i] + 1;
else
cnt[k] = cnt[i];
}
}
}
g[1] = 0;
for (int i = 2; i < N; i++)
g[i] = (cnt[i] == tot[i] ? ((tot[i] & 1) ? 1 : -1) : 0) + g[i - 1];
}
int work()
{
int T;
read(T);
init();
while (T--)
{
int n, m;
read(n), read(m);
if (n > m)
swap(n, m);
int pos = 1;
ll ans = 0;
while (pos <= n)
{
int tmp = min(n / (n / pos), m / (m / pos));
ans += ll(g[tmp] - g[pos - 1]) * (n / pos) * (m / pos);
pos = tmp + 1;
}
write(ans), putchar('\n');
}
return 0;
}
}
int main()
{
#ifdef BlueSpirit
freopen("3309.in", "r", stdin);
#endif
return zyt::work();
}
