【博客】无旋式Treap
无旋式Treap
前言
无旋Treap,又称fhq_treap,是范浩强大佬发明的一种数据结构
它也是一棵平衡二叉搜索树
普通的Treap通过旋转来保持平衡
而fhq treap不需要旋转就可以维持平衡
它可以支持一切Treap和Splay等平衡树的操作,支持可持久化
对于初学者来说,它比Splay好学,比Treap好用,实在不失为一个性价比极高的数据结构.
大家对它评价好高啊
要好(四声) 好(三声) 学
(梅姐又出现了)
Treap
Treap就是由Tree和Heap(树和堆)两种数据结构组合而成的数据结构。
Treap与BST不同的是
它的每个结点除了权值(val,key)以外，还维护了一个随机优先级pri[x]
在Treap中 权值 维护题目要求的信息 满足BST性质
在Treap中 优先级满足小根堆的性质(梦回左偏树)
例如
因为优先级是随机生成的，所以它是期望平衡的
有旋式Treap和无旋式Treap建出的树都是上面那样的
只不过维护平衡的方式不同
有旋式Treap是如何旋转的这里不讲(因为我没学，好像没人用)
下面来学无旋式Treap的操作
无旋式Treap
总的来说 它是靠合并和开裂维持平衡的
合并
将两棵有序(x中元素的权值都小于y中元素的权值)的treap合并成一棵
详见代码
int Merge(int x,int y)
{
if(!x|| !y) return x+y; //一棵树为空 返回另一棵树
if(tree[x].pri<tree[y].pri)//若x的优先级小 x作根
{
tree[x].r=Merge(tree[x].r,y);//由于x中权值比y小，所以合并右子树与y
pushup(x);
return x;
}
else//若y的优先级小 y作根
{
tree[y].l=Merge(x,tree[y].l);//由于x中权值比y小，所以合并左子树与x
push_up(y);
return y;
}
}
分裂
- 按权值分裂 Split(now,val,x,y)
将一个Treap分裂为两个，第一个Treap所有节点的权值小于等于给定\(val\)值，第二个Treap所有节点的权值大于等于给定\(val\)值。
详见代码
void Split(int now,int val,int &x,int &y)
{
if(!now)
x=y=0;
else
{
if(tree[now].val<=val)//now的权值小于val，说明左子树都小 不用分了 去分右子树
{
x=now;
Split(tree[now].r,val,tree[now].r,y);
}
else//now的权值大于val 说明右子树都大 不用分了 去分左子树
{
y=now;
Split(tree[now].l,val,x,tree[now].l);
}
pushup(now);
}
return ;
}
- 按大小分裂 Split(now,size,x,y)
将一个Treap分裂为两个，x的大小为\(size\)，储存着\(now\)树中前\(size\)小的元素
详见代码
void Split(int now,int size,int &x,int &y)
{
if(!now)
x=y=0;
else
{
pushdown(now);
if(tree[tree[now].l].size<size)//左子树大小不够size 去分右子树
{
x=now;
Split(tree[now].r,size-tree[tree[now].l].size-1,tree[now].r,y);
}
else//否则分左子树
{
y=now;
Split(tree[now].l,size,x,tree[now].l);
}
update(now);
}
return ;
}
插入
Insert(val) 在treap中插入一个值为val的元素
新建一个节点,然后根据权值拆成左右子树,然后Merge(Merge(左,新节点),右)即可
建树
当我发出fhq treap如何建树这个问题的时候
这确实是一种方法
还有可以利用笛卡尔树的\(O(n)\)建树的方法
这里有
删除
根据权值拆成左右子树和要拆除的节点,然后直接Merge(左,右)即可
区间操作
一般来讲是通过Split剖出需要操作的区间代表的子树,然后在根节点打标记,然后合并即可.
合并无序的两棵树
int AllMerge(int x,int y)
{
if(!x || !y) return x+y;
if(tree[x].pri>tree[y].pri)
swap(x,y);
int a,b;
split(y,tree[x].val,a,b);
lc(x)=AllMerge(lc(x),a);
rc(x)=AllMerge(rc(x),b);
pushup(x);
}
fhq treap的基本操作就到此为止了
合并和开裂是关键
撒花
附例题
引用来源
