【博客】Splay
Splay
前言
学到Splay 感觉网上的资料多了好多
果然是常用的 那得好好学
Splay树是一种平衡二叉查找树
它通过旋转操作保持树的平衡而不至于退化成链
能够在均摊复杂度\(O(log N)\)时间内完成插入，查找和删除操作
提一句
Splay是Tarjan发明的
Tarjan好强
算法介绍
二叉查找树
既然Splay是一种平衡的二叉查找树，我们得先知道普通的二叉查找树
二叉查找树(BST) 是具有下列性质的二叉树
若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
它的左、右子树也分别为二叉查找树
它的中序遍历是有序的
附个图
它能在最优\(O(log\) $ n)$的时间复杂度内完成查询，修改等操作
但是 如果出题人不讲武德
那就劝他好自为之
从小到大给数据 BST就退化成了一条链
时间复杂度达到了\(O(n)\)
于是我们要用Splay的旋转操作避免退化
Splay
splay维护以下信息
在每次操作时，Splay会通过一次次旋转，将树的结构改变(也就是伸展操作splay)，把当前结点转到树根上
这个操作使得Splay的均摊时间复杂度为\(O(log\) $ n)$
所以到底怎么旋转呢
操作
旋转Rotate(x)
旋转操作：
将指定的结点x向上移动一级
将原有的父节点作为自己的儿子
并且维持BST的性质
旋转分为左旋和右旋 但是我们把他们结合在一起
详情看代码 配合图片食用更佳
#define lc(x) tree[x].ch[0]
#define rc(x) tree[x].ch[1]
#define fa(x) tree[x].fa
int root,cnt;
bool Check(int x)
//查询x是在左子树还是右子树
//右子树返回1 左子树返回0
{
return rc(fa(x))==x;
}
void Pushup(int now)
{
tree[now].siz=tree[lc(now)].siz+tree[rc(now)].siz+tree[now].cnt;
}
void Rotate(int x)
{
//y为x的父节点
//z为y的父节点
//选取不与x同侧的x的子节点w 以维持BST性质
int y=fa(x);
int z=fa(y);
int k=Check(x),w=tree[x].ch[k^1];
tree[z].ch[Check(y)]=x,fa(x)=z;//把x接在z下
tree[y].ch[k]=w,fa(w)=y;//把w接在y下
tree[x].ch[k^1]=y,fa(y)=x;//把y接在x下
Pushup(y),Pushup(x);
}
伸展Splay(x,target)
这个操作将x调整为target的子节点
它分四种情况 需要分别处理
- target是x的父节点 结束
- target是x的父亲的父亲 rotate(x)
- 直线型(x的父亲的父亲不是target) rotate(y),rotate(x) 先父后儿
- 折线型(x的父亲的父亲不是target) rotate(x),rotate(x) 先儿后儿
如果我们想将x转到根节点
只需要让target等于0即可
Splay的代码如下
void Splay(int x,int target=0)
//如果调用的时候写Splay(x) 默认target=0
//如果调用的时候写Splay(x,target) target为传入的值
{
while(fa(x)!=tarjat)
{
int y=fa(x),z=fa(y);
if(z!=target)
{
if(Check(x)==Check(y)) //直线型
Rotate(y);
else//折线形
Rotate(x);
}
Rotate(x);
}
if(!target)
root=x;
}
查询Find(v)
判断元素v是否在伸展树表示的有序集中
并把它转到根
设当前结点为x
若v大于x 向右子树找
若v小于x 向左子树找
若v等于x 找到了 把x转到根
若访问到空节点 表示没找到
void Find(int val)
{
int now=root;
while(tree[now].ch[val>tree[now].val] && tree[now].val!=val)
now=tree[now].ch[val>tree[now].val];
Splay(now);
}
插入Insert(v)
跟查询差不多
设当前结点为x
若v大于x 向右子树找
若v小于x 向左子树找
若v等于x 找到了 cnt++
若访问到空节点 新建一个点
void Insert(int val)
{
int now=root,las=0;
while(now && tree[now].val!=val)
{
las=now;
now=tree[now].ch[val>tree[now].val];
}
if(now)//找到了 个数加1
++tree[now].cnt;
else//没找到 新建点
{
now=++cnt;
if(las)
tree[las].ch[val>tree[las].val]=now;
lc(now)=rc(now)=0;
tree[now].val=val;
fa(now)=las;
tree[now].siz=tree[now].cnt=1;
}
Splay(now);
}
其他操作
合并Join(u,v)
u,v分别是需要合并的子树S1,S2的根节点
需要满足S1的所有元素都小于S2的所有元素
首先找到S1的最大点x 转到根
然后把S2当作x的右子树即可
删除Del(x)
先找到x 转到根
然后把左右子树合并
查询排名Getrank(v)
先找到v所在的结点x 转到根
排名为左子树结点个数+1
分裂Split(v)
先找到v所在的结点x 转到根
取出左右子树即可
到此Splay就写差不多了
附例题
引用来源
Splay 树 - OI Wiki (oi-wiki.org)
还有书
