【博客】左偏树

左偏树

前言

~~左偏树是一棵向左偏的树~~

左偏树是一种能在\(O(\log n)\)之内完成合并的可并堆

长这样

我们常用左偏树完成以下操作

在指定集合中插入一个元素
查询集合中最高优先级的元素
删除集合中最高优先级的元素
删除指定元素
合并两个集合

性质

首先我们要知道左偏树的每个节点都维护了什么东西

左右子节点 父亲节点 （父亲孩子表示法）
键值key
（上文提到的优先级）其实就是我们要维护的数据（@某人说所有东西都是数据）

补一个定义

左子树或右子树为空的节点称为外节点，左子树和右子树可以同时为空。

距离dist
不是外节点的节点 的距离为其到子树中最近的外节点的距离，外节点 的距离为0，空节点 的距离为-1

然后我们就可以说左偏树的一些性质了

1.节点的键值小于等于左右子节点的键值

说白了就是 键值满足小顶堆的性质

这个性质保证了我们可以在O(1)的时间复杂度内查询最小值(就是堆顶呀)

2.结点的左子结点的距离不小于右子结点的距离

这就是左偏树为什么叫左偏树的原因

3.节点的距离等于它的右子节点的距离加1

注意距离的概念跟深度不同左偏树并不一定是左边节点数或深度大于右边的树

操作

合并

把两棵左偏树A，B合并成一棵左偏树C

1.最简单的情况就是一棵树为空 直接返回另一棵树即可

if(!A) return B;
if(!B) return A;

2.若不为空假设A的根节点的键值小于B的根节点的键值（大于的话换一下不就好啦）那么把A的根节点作为C的根节点，递归合并A的右子树和B

if(key[B]<key[A]) swap(A,B); //B小于A的话就换一下
r[A]=Merge(r[A],B); //递归合并

3.合并之后 r[A]的距离可能变大性质2可能被破坏如果破坏了需要交换一下A的左右子树

if(dist[r[A]]>dist[l[A]]) swap(l[A],r[A]); //不满足左偏性质 交换左右子树

4.r[A]的距离可能被改变，要更新A的距离

if(!r[A]) dist[A]=0;
else dist[A]=dist[r[A]]+1; //更新距离
return A; //合并好了 返回一下

合并的总代码为

int Merge(int A,int B)
{
    if(!A) return B;
    if(!B) return A;
    if(key[B]<key[A]) swap(A,B); //B小于A的话就换一下
    r[A]=Merge(r[A],B); //递归合并
    if(dist[r[A]]>dist[l[A]]) swap(l[A],r[A]); //不满足左偏性质 交换左右子树
    if(!r[A]) dist[A]=0;
    else dist[A]=dist[r[A]]+1; //更新距离
    return A; //合并好了 返回一下
}

单点插入

单个结点也可以看成一棵左偏树

所以可以看作合并操作

void Insert(int x,int A) //把x插入到A中
{
    int B=MakeIntoTree(x); //新建一棵只有根节点的左偏树
    A=Merge(A,B); //合并
}

删除根结点

将根结点的左右子树合并即可

int DeleteMin()
{
    int t=key[root];
    root=Marge(l[root],r[root]);//合并左右子树
    return t;
}

构建一棵左偏树

法1：将结点一个个单点插入（谁(sei)还那么做啊~）

~~梅姐附体~~

时间复杂度\(O(n\log n)\)

法2：

1.将结点放入到队列中

2.从队首取出两棵树合并后插入队尾

3.当队列中只剩下一棵树时结束

时间复杂度\(O(n)\)

代码长介样

void Build()
{
    //此处节点队列为h，头尾为l、r
    int l=1,r=n;
    for(int i=1;i<n;i++)//可证只有n-1次合并
    {
        int root=Merge(h[l],h[l+1]);
        r++;
        h[r]=root;
        l+=2;
    }
}

删除任意已知结点

左偏树不能有效搜索指定键值的结点。

因为它只是堆不是二叉搜索树

所以删除任意已知节点，首先要找到这个已知节点

需要遍历一遍，在O(n)的时间里找到这个节点。

找到这个结点后，设要删除的节点为x，合并x的左右子树，然后自底向上维护距离值，不满足左偏性质则交换左右儿子，直至距离值无需更新时，算法结束。

具体而言，设q是x的父节点。合并左右儿子后的新树设为p，即p=Merge(left(x),right(x))，设节点x的父节点为q，具体分析如下：

（1）x是原树中的根节点，则删除x节点后，合并左右子树后，算法结束

（2）x不是原树中的根节点，合并后的树为p，新的距离为dist(p),dist(p)与dist(q)的值相比有如下几种情况

（a） dist(p)=dist(q)-1 满足左偏条件，不需进行交换

（b）dist(p)<dist(q)-1

如果p是q的右子树，则需要更新q的距离值，并一直更新到距离值无需再更新时为止

如果p是q的左子树，则需要交换p和right(q)，并更新q的距离值，并一直更新到距离值无需再更新时为止

期间不满足左偏条件的要进行交换

（c）dist(p)>dist(q)-1

如果新树p在q的左子树上，则满足左偏条件，不需要交换和更新。

如果新树p在q的右子树上，如果新树p的距离大于q的左子树的距离，则需要交换，同时更新其q的距离，并一直更新到距离值无需再更新时为止，期间不满足左偏条件的要进行交换。

void Delete(int x)
{
    int q=parent[x];
    int p=Marge(l[x],r[x]);
    parent[p]=q;
    if(q && l[q]==x) l[q]=p;
    if(q && r[q]==x) r[q]=p;
    while(q)
    {
        if(dist[l[q]]<dist[r[q]])
            swap(l[q],r[q]);
        if(dist[r[q]]+1==dist[q]) return ;
        dist[q]=dist[r[q]]+1;
        p=q;
        q=parent[p];
    }
}

左偏树的基本操作就完事啦

关键还是合并操作

完结撒花

附上一道模板题

P3377【模板】左偏树/可并堆 - 洛谷

再附上两道题

P1552 [APIO2012] 派遣 - 洛谷

P3261 [JLOI2015] 城池攻占 - 洛谷

引用来源

左偏树简介-CSDN博客

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