堆排序

1.堆排序

1.概念：堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法，堆排序属于选择排序中的一种，它的最坏，最好的时间复杂度都是O，也是属于不稳定排序。

2.理论：堆是具有以下性质的完全二叉树，每个节点的值都是大于或者等于其左右孩子节点的值，称为大堆顶；或者每个节点的值都小于或等于其左右孩子节点的值，称为小堆顶；

3.图示：

观察上述数组p[N],在逻辑上就是一个堆结构

4.公式：
大栈顶：p[i] >= p[2i + 1] && p[i] >= p[2i + 2];
小栈顶：p[i] <= p[2i + 1] && p[i] <= p[2i + 2];

5.基本思想： 堆排序的基本思想是：将待排序序列构造成一个大顶堆，此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。将其与末尾元素进行交换，此时末尾就为最大值。然后将剩余n-1个元素重新构造成一个堆，这样会得到n个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列了。

模拟大栈顶：
a.假定一个无序的序列结构

2.此时我们从最后一个非叶子结点开始（叶结点自然不用调整，第一个非叶子结点 arr.length/2-1=5/2-1=1，也就是下面的6结点），从左至右，从下至上进行调整。

4.找到第二个非叶节点4，由于[4,9,8]中9元素最大，4和9交换。

这时，交换导致了子根[4,5,6]结构混乱，继续调整，[4,5,6]中6最大，交换4和6。

此时，我们就将一个无需序列构造成了一个大顶堆。

思路总结：
a.将无需序列构建成一个堆，根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆;
b.将堆顶元素与末尾元素交换，将最大元素"沉"到数组末端;
c.重新调整结构，使其满足堆定义，然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素，反复执行调整+交换步骤，直到整个序列有序。

例题：
输入一个长度为n的整数数列，从小到大输出前m小的数。
第一行包含整数n和m。第二行包含n个整数，表示整数数列。
输出： 共一行，包含m个整数，表示整数数列中前m小的数。
代码：

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 100010;
int h[N], n, size1, m;

//down
void down(int u)
{
    int p = u;
    if(u * 2 <= size1 && h[u * 2] < h[p]) p = u * 2;//判断是左儿子还是右儿子
    if(u * 2 + 1 <= size1 && h[u * 2 + 1] < h[p]) p = u * 2 + 1;
    if(p != u)//如果不是栈顶，则交换位置
    {
        swap(h[p] , h[u]);
        down(p);
    }
}
/*void up(int u)
{
    while(u / 2 && h[u / 2] > h[u])
    {
        swap(h[u / 2], h[u]);
        u /= 2;
    }
}*/

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> h[i];
    size1 = n;
    
    for(int i = n / 2; i ; i--) down(i);
    while(m --)
    {
        cout << h[1] << " ";
        h[1] = h[size1];
        size1 --;
        down(1);
    }
    return 0;
}

文章大部分讲解内容转自：https://www.cnblogs.com/chengxiao/p/6129630.html