图论做题记录

CF242D

题意：初始有一个 \(n\) 个点的图，依次添加 \(m\) 条边，对每次加边后需要回答满足每个点的度数都大于等于 \(k\) 的导出子图的最大点数。

考虑将加边操作改为删边操作，关键问题在于怎么求出最后状态的答案。考虑每一个初始点数小于 \(k\) 的点一定不能被加入答案，直接将其删除，在观察删除它之后会使那些点不合法，在重复当前操作，最后剩下的点都是合法的点。对于每次删边操作，即考虑删除这条边后会不会使两点的度数小于 \(k\)。复杂度线性。

Trick：用类似拓扑排序的方法每次删去不合法点的方法。还有几道类似的例题：CF242D。

CF920E

题意：初始有一个 \(n\) 个点的无向完全图，删去其中 \(m\) 条边，求有多少个连通分量以及每个连通分量的点数。

考虑鸽巢原理，必定有一个点剩余的度数大于等于 \(n - \frac{m}{n} - 1\)。考虑将与这个点相连的点全部合并起来，那么只会剩下 \(\frac{m}{n}\) 个点未被连通。暴力处理这 \(\frac{m}{n}\) 个点的复杂度为 \(O(n \cdot \frac{m}{n})\)。所以总时间复杂度为 \(O(n + m)\)。

Trick：从最大度数的点下手，和它不连通的导出子图大小会被降下来。

CF576D

题意：给定一张 \(n\) 个点，\(m\) 条边的有向图，现要从 \(1\) 号节点走到 \(n\) 号节点。只有走过至少 \(d_i\) 条边后才能走第 \(i\) 条边。问最少需要经过多少条边，或判断无法到达。

考虑先将边按照 \(d_i\) 排序，枚举当前要加入的边。难点在于如何求出经过 \(k\) 条边后能到达的点。考虑用邻接矩阵存图，向量存储从 \(1\) 号节点出发能到达的点集。每次经过一条边即向量 右乘（如果 \(G_{i,j}\) 存储的是边 \(i \rightarrow j\)) 邻接矩阵。每次加入第 \(i\) 条边之后，计算从现在经过 \(d_i\) 条边能到达的点到 \(n\) 的最短距离，用以更新答案。

Trick：考虑邻接矩阵很重要的一个性质是它是一个矩阵。而很多图论题，如最短路，都可看作是在图上进行 DP，边就是转移方式。所以可以通过乘上邻接矩阵来优化转移。具体的，乘上 \(k\) 次矩阵意为经过了 \(k\) 条边。类似的题目还有：[USACO07NOV]Cow Relays G，[NOI Online #3 提高组]魔法值 和 NOI2020美食家。