图论做题记录

CF242D

题意：初始有一个 $n$ 个点的图，依次添加 $m$ 条边，对每次加边后需要回答满足每个点的度数都大于等于 $k$ 的导出子图的最大点数。

考虑将加边操作改为删边操作，关键问题在于怎么求出最后状态的答案。考虑每一个初始点数小于 $k$ 的点一定不能被加入答案，直接将其删除，在观察删除它之后会使那些点不合法，在重复当前操作，最后剩下的点都是合法的点。对于每次删边操作，即考虑删除这条边后会不会使两点的度数小于 $k$。复杂度线性。

Trick：用类似拓扑排序的方法每次删去不合法点的方法。还有几道类似的例题：CF242D。

CF920E

题意：初始有一个 $n$ 个点的无向完全图，删去其中 $m$ 条边，求有多少个连通分量以及每个连通分量的点数。

考虑鸽巢原理，必定有一个点剩余的度数大于等于 $n - \frac{m}{n} - 1$。考虑将与这个点相连的点全部合并起来，那么只会剩下 $\frac{m}{n}$ 个点未被连通。暴力处理这 $\frac{m}{n}$ 个点的复杂度为 $O(n \cdot \frac{m}{n})$。所以总时间复杂度为 $O(n + m)$。

Trick：从最大度数的点下手，和它不连通的导出子图大小会被降下来。

CF576D

题意：给定一张 $n$ 个点，$m$ 条边的有向图，现要从 $1$ 号节点走到 $n$ 号节点。只有走过至少 $d_i$ 条边后才能走第 $i$ 条边。问最少需要经过多少条边，或判断无法到达。

考虑先将边按照 $d_i$ 排序，枚举当前要加入的边。难点在于如何求出经过 $k$ 条边后能到达的点。考虑用邻接矩阵存图，向量存储从 $1$ 号节点出发能到达的点集。每次经过一条边即向量 右乘（如果 $G_{i,j}$ 存储的是边 $i \rightarrow j$) 邻接矩阵。每次加入第 $i$ 条边之后，计算从现在经过 $d_i$ 条边能到达的点到 $n$ 的最短距离，用以更新答案。

Trick：考虑邻接矩阵很重要的一个性质是它是一个矩阵。而很多图论题，如最短路，都可看作是在图上进行 DP，边就是转移方式。所以可以通过乘上邻接矩阵来优化转移。具体的，乘上 $k$ 次矩阵意为经过了 $k$ 条边。类似的题目还有：[USACO07NOV]Cow Relays G，[NOI Online #3 提高组]魔法值 和 NOI2020美食家。

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本文作者：zym417
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