左偏树

左偏树

左偏树是一种可并堆，能够在 \(O(log n)\) 的时间复杂度内实现。

性质

1. 满足二叉堆的性质。
2. 左子树的 \(dis\) 值大于右子树的 \(dis\) 值。
   \(dis\) 值定义为到子树中最近的左儿子或右儿子为空的节点的距离。
   注意：此处的 \(dis\) 指的不是深度，左偏树的深度是没有保证的，一条向左的链也是左偏树。

根据左偏树的性质，很显然它满足递归结构。

合并

假设合并两个小根堆。
首先满足性质1，让权值小的作为根，再合并根的右子树与另一个堆。
为满足性质2，如果左子树的 \(dis\) 值小于右子树，就交换左右子树。

int Merge(int x, int y) {
	if(!x || !y) return x | y;
	if(val[x] > val[y]) swp(x, y);
	rs[x] = Merge(rs[x], y); fa[rs[x]] = x;
	if(dis[ls[x]] < dis[rs[x]]) swp(ls[x], rs[x]);
	dis[x] = dis[ls[x]] + 1;
	return x;
}

根据左偏树的性质，每递归一层 \(dis\) 值都会减一。一棵有 \(n\) 个节点的树 \(dis\) 最大为 \(O(log n)\)。所以时间复杂度为 \(O(log n)\)。

弹出堆顶

即删除堆顶，合并左右子树， 将原堆顶和左右儿子的父亲设为新堆顶，将原堆顶的左右儿子和 \(dis\) 值清空。
之所以要讲原堆顶的父亲也设为新堆顶，是因为并查集使用了路径压缩，导致子树内可能有节点直接连向原堆顶。

int Pop(int x) {
	fa[ls[x]] = fa[rs[x]] = fa[x] = Merge(ls[x], rs[x]);
	ls[x] = rs[x] = dis[x] = 0;
	return val[x];
}