二项式反演
概念
通常用于通过“指定若干个”求“恰好若干个”。
引入
二项式反演与多步容斥极为相似，但并不等价。
但依然可以由多步容斥引入。
\[\begin{align*}
|A_1^c \cap A_2^c \cap ... \cap A_n^c| & = |S| - |A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n| \\
& = (-1)^0|S|+(-1)^1\sum_{1\leq i \leq n}|A_1|+...+(-1)^{n-1}\sum|A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_n|
\end{align*}\]
\[\begin{align*}
|A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_n| & = |S| - |A_1^c \cup A_2^c \cup ... \cup A_n^c| \\
& = (-1)^0|S|+(-1)^1\sum_{1\leq i \leq n}|A_1^c|+...+(-1)^{n-1}\sum|A_1^c \cap A_2^c \cap ... \cap A_n^c|
\end{align*}\]
形式
形式一
观察上方的引入，设 \(f(n)\) 表示 \(n\) 个补集的交集大小，\(g(n)\) 表示 \(n\) 个原集的交集的大小。
则有
\[f(n)=\sum_{0\leq i \leq n}\dbinom{n}{i}(-1)^ig(i)
\]
\[g(n)=\sum_{0\leq i \leq n}\dbinom{n}{i}(-1)^if(i)
\]
这两个公式等价且可以互相推导，所以我们得到了形式一：
\[f(n)=\sum_{0\leq i \leq n}\dbinom{n}{i}(-1)^ig(i) \Leftrightarrow g(n)=\sum_{0\leq i \leq n}\dbinom{n}{i}(-1)^if(i)
\]
形式二
\[f(n)=\sum_{0\leq i \leq n}\dbinom{n}{i}g(i) \Leftrightarrow g(n)=\sum_{0\leq i \leq n}\dbinom{n}{i}(-1)^{n-i}f(i)
\]
证明一
设 \(g(n)=(-1)^nh(n)\)，则有
\[f(n)=\sum_{0\leq i \leq n}\dbinom{n}{i}g(i)
\]
\[g(n)=(-1)^nh(n)=\sum_{0\leq i \leq n}\dbinom{n}{i}(-1)^{n+i}f(i)
\]
又因为 \((-1)^k\) 的值至于 \(k\) 的奇偶性有关，所以 \((-1)^{n+i}=(-1)^{n-i}\)。
所以 \(g(n)=\sum_{0\leq i \leq n}\binom{n}{i}(-1)^{n-i}f(i)\)。
证明二
将右式代入左式，得：
\[\begin{align*}
f(n) & = \sum_{0\leq i \leq n}\dbinom{n}{i}\sum_{0\leq j \leq i}\dbinom{i}{j}(-1)^{i-j}f(j) \\
& = \sum_{0\leq i \leq n}\sum_{0\leq j \leq i}\dbinom{n}{i}\dbinom{i}{j}(-1)^{i-j}f(j)
\end{align*}\]
考虑 \(\binom{n}{i}\binom{i}{j}\) 的组合意义，即从 \(n\) 个里面选取 \(i\) 个再从 \(i\) 个里面选取 \(j\) 个。等价于从 \(n\) 个里面选取 \(j\) 个，再从 \(n-j\) 个里面选取 \(i-j\) 个。
所以，
\[\begin{align*}
f(n) & = \sum_{j=0}^n \binom{n}{j} f(j) \sum_{i=j}^n \binom{n-j}{i-j}(-1)^{i-j} \\
& = \sum_{j=0}^n \binom{n}{j} f(j) \sum_{k=0}^(n-j) \binom{n-j}{k}(-1)^{k}1^{n-j-k} \\
& = \sum_{j=0}^n \binom{n}{j} f(j) (1-1)^{n-j}
\end{align*}\]
所以当且仅当 \(j=n\) 时，原式等于 \(\binom{n}{n} f(j) (1-1)^0=f(j)\)。
形式三
最常用的形式。
\[f(n)=\sum_{i=n}^{m}\binom{i}{n}g(i) \Leftrightarrow g(n)=\sum_{i=n}^{m}\binom{i}{n}(-1)^{i-n}f(i)
\]
组合意义
\(f(n)\) 表示在 \(m\) 个数指定选固定的 \(n\) 个数后任意选择的方案数（可能有重复，因为对于不同的指定方案，选择完毕后可能会相同），\(g(n)\) 表示在 \(m\) 个数中恰好选择 \(n\) 个数的方案数。
注意：此处的选择不同于组合数的选择，而是选择某些物品满足一些特定条件
证明
将右式代入左式，得：
\[\begin{align*}
f(n) & = \sum_{i=n}^m \binom{i}{n} \sum_{j=i}^{m} \binom{j}{i}(-1)^{j-i}f(j) \\
& = \sum_{i=n}^{m}\sum_{j=i}^{m}\binom{j}{i}\binom{i}{n}(-1)^{j-i}f(j) \\
& = \sum_{j=n}^{m}\binom{j}{n}f(j)\sum_{i=n}^{j}\binom{j-n}{i-n}(-1)^{j-i} \\
& = \sum_{j=n}^{m}\binom{j}{n}f(j)\sum_{k=0}^{j-n}\binom{j-n}{k}(-1)^{k}1^{j-n-k} \\
& = \sum_{j=n}^{m}\binom{j}{n}f(j)(1-1)^{j-n} \\
& = f(n)
\end{align*}\]
