数论函数

数论函数的定义

数论函数指定义域为正整数集的函数

积性函数

定义

积性函数：当 \(a\)，\(b\) 互质，\(f(ab)=f(a)f(b)\)

完全积性函数：对于任意 \(a\)，\(b\)，\(f(ab)=f(a)f(b)\)

常见的数论函数

欧拉函数：\(\varphi(n)\)计算 \(1\) ~ \(n\) 中与 \(n\) 互质的数的个数。

莫比乌斯函数：

\[\mu(n)=\begin{cases} 1 &n=1 \\ (-1)^s &n=p_1*p_2*...*p_s \\ 0 &others \end{cases}\]

\(\epsilon(n) = \begin{cases} 1 &n=1 \\ 0 &n\geq1 \end{cases}\)\( \)

\(I(n)=1\)

单位函数：\(Id(n)=n\)

幂函数：\(Idk(n)=n^k\)

\(d(n)\)：正因子个数

\(\delta(n)\)：正因子之和

欧拉函数

性质

1. \(p\) 为质数，若 \(p\mid n\) 且 \(p^2 \mid n\)，则 \(\varphi(n)=\varphi(n / p) * p\)

2. \(p\) 为质数，若 \(p\mid n\) 且 \(p^2 \nmid n\)，则 \(\varphi(n)=\varphi(n / p) * (p - 1)\)

3. \((\varphi*I)(n)=n\)

线性筛法

void init() {
	phi[1] = 1;
	for(int i = 2; i <= n; i++) {
		if(!v[i]) prime[++cnt] = i, v[i] = i, phi[i] = i - 1;
		for(int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= n; j++) {
			v[i * prime[j]] = prime[j];
			if(i % prime[j]) phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
			else {phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j]; break;}
		}
	}
}

莫比乌斯函数

性质

\((\mu*I)(n)=e(n)\)

线性筛法

void init() {
	n = 100;
	mu[1] = 1;
	for(int i = 2; i <= n; i++) {
		if(!v[i]) prime[++cnt] = i, v[i] = i, mu[i] = - 1;
		for(int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= n; j++) {
			v[i * prime[j]] = prime[j];
			if(i % prime[j]) mu[i * prime[j]] = -mu[i];
			else {mu[i * prime[j]] = 0; break;}
		}
	}
}

杜教筛

对于一个数论函数 \(f\)，我们要求 \(S(n) = \sum_{i=1}^{n}f(i)\)

想办法构建出 \(S(n)\) 关于 \(S(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)\) 的递推式

对于任意一个数论函数，必满足：

\[\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)=\sum_{i=1}^{n}g(i)S(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor) \]

那么可以得到：

\[S(n)=\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)-\sum_{i=2}^{n}g(i)S(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor) \]