梯度提升树(GBDT)原理小结(转载)

一. GBDT概述
二. GBDT的负梯度拟合
三. GBDT回归算法
四. GBDT分类算法
- 1、二元GBDT分类算法
- 2 、多元GBDT分类算法
五 GBDT常用损失函数
六 GBDT的正则化
七 GBDT小结

在集成学习值Adaboost算法原理和代码小结(转载)中，我们对Boosting家族的Adaboost算法做了总结，本文就对Boosting家族中另一个重要的算法梯度提升树(Gradient Boosting Decison Tree, 以下简称GBDT)做一个总结。GBDT有很多简称，有GBT（Gradient Boosting Tree）, GTB（Gradient Tree Boosting ）， GBRT（Gradient Boosting Regression Tree）, MART(Multiple Additive Regression Tree)，其实都是指的同一种算法，本文统一简称GBDT。GBDT在BAT大厂中也有广泛的应用，假如要选择3个最重要的机器学习算法的话，个人认为GBDT应该占一席之地。

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一. GBDT概述

GBDT也是集成学习Boosting家族的成员，但是却和传统的Adaboost有很大的不同。回顾下Adaboost，我们是利用前一轮迭代弱学习器的分类误差率来更新训练集的权重，这样一轮轮的迭代下去。GBDT也是迭代，使用了前向分布算法，但是弱学习器限定了只能使用CART回归树模型，同时迭代思路和Adaboost也有所不同。

在GBDT的迭代中，假设我们前一轮迭代得到的强学习器是 $f_{t-1}(x)$ , 损失函数是 $L(y, f_{t-1}(x))$ , 我们本轮迭代的目标是找到一个CART回归树模型的弱学习器 $h_t(x)$ ，让本轮的损失损失 $L(y, f_{t}(x) =L(y, f_{t-1}(x)+ h_t(x))$ 最小。也就是说，本轮迭代找到决策树，要让样本的损失尽量变得更小。

GBDT的思想可以用一个通俗的例子解释，假如有个人30岁，我们首先用20岁去拟合，发现损失有10岁，这时我们用6岁去拟合剩下的损失，发现差距还有4岁，第三轮我们用3岁拟合剩下的差距，差距就只有一岁了。如果我们的迭代轮数还没有完，可以继续迭代下面，每一轮迭代，拟合的岁数误差都会减小。

从上面的例子看这个思想还是蛮简单的，但是有个问题是这个损失的拟合不好度量，损失函数各种各样，怎么找到一种通用的拟合方法呢？

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二. GBDT的负梯度拟合

我们已经介绍了GBDT的基本思路，但是没有解决损失函数拟合方法的问题。针对这个问题，大牛Freidman提出了用损失函数的负梯度来拟合本轮损失的近似值，进而拟合一个CART回归树。第t轮的第i个样本的损失函数的负梯度表示为： $r_{ti} = -\bigg[\frac{\partial L(y_i, f(x_i)))}{\partial f(x_i)}\bigg]_{f(x) = f_{t-1}\;\; (x)}$ 利用 $(x_i,r_{ti})\;\; (i=1,2,..m)$ ,我们可以拟合一颗CART回归树，得到了第t颗回归树，其对应的叶节点区域 $R_{tj}, j =1,2,..., J$ 。其中J为叶子节点的个数。

针对每一个叶子节点里的样本，我们求出使损失函数最小，也就是拟合叶子节点最好的的输出值 $c_{tj}$ 如下： $c_{tj} = \underbrace{arg\; min}_{c}\sum\limits_{x_i \in R_{tj}} L(y_i,f_{t-1}(x_i) +c_t)$ 这样我们就得到了本轮的决策树拟合函数如下： $h_t(x) = \sum\limits_{j=1}^{J}c_{tj}I(x \in R_{tj})$

从而本轮最终得到的强学习器的表达式如下： $f_{t}(x) = f_{t-1}(x) + \sum\limits_{j=1}^{J}c_{tj}I(x \in R_{tj})$ 通过损失函数的负梯度来拟合，我们找到了一种通用的拟合损失误差的办法，这样无轮是分类问题还是回归问题，我们通过其损失函数的负梯度的拟合，就可以用GBDT来解决我们的分类回归问题。区别仅仅在于损失函数不同导致的负梯度不同而已。

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三. GBDT回归算法

好了，有了上面的思路，下面我们总结下GBDT的回归算法。为什么没有加上分类算法一起？那是因为分类算法的输出是不连续的类别值，需要一些处理才能使用负梯度，我们在后面讲。

输入：训练集样本 $T=\{(x_,y_1),(x_2,y_2), ...(x_m,y_m)\}$ ，最大迭代次数T, 损失函数L。

输出：强学习器f(x)

初始化弱学习器 $f_0(x) = \underbrace{arg\; min}_{c}\sum\limits_{i=1}^{m}L(y_i, c)$
对迭代轮数t=1,2,...T有：

a)对样本i=1,2，...m，计算负梯度： $r_{ti} = -\bigg[\frac{\partial L(y_i, f(x_i)))}{\partial f(x_i)}\bigg]_{f(x) = f_{t-1}\;\; (x)}$

b)利用 $(x_i,r_{ti})\;\; (i=1,2,..m)$ , 拟合一颗CART回归树,得到第t颗回归树，其对应的叶子节点区域为 $R_{tj}, j =1,2,..., J$ 。其中J为回归树t的叶子节点的个数。

c) 对叶子区域j =1,2,..J,计算最佳拟合值： $c_{tj} = \underbrace{arg\; min}_{c}\sum\limits_{x_i \in R_{tj}} L(y_i,f_{t-1}(x_i) +c)$

d) 更新强学习器： $f_{t}(x) = f_{t-1}(x) + \sum\limits_{j=1}^{J}c_{tj}I(x \in R_{tj})$

3.得到强学习器f(x)的表达式： $f(x) = f_T(x) =f_0(x) + \sum\limits_{t=1}^{T}\sum\limits_{j=1}^{J}c_{tj}I(x \in R_{tj})$

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四. GBDT分类算法

这里我们再看看GBDT分类算法，GBDT的分类算法从思想上和GBDT的回归算法没有区别，但是由于样本输出不是连续的值，而是离散的类别，导致我们无法直接从输出类别去拟合类别输出的误差。

为了解决这个问题，主要有两个方法，一个是用指数损失函数，此时GBDT退化为Adaboost算法。另一种方法是用类似于逻辑回归的对数似然损失函数的方法。也就是说，我们用的是类别的预测概率值和真实概率值的差来拟合损失。本文仅讨论用对数似然损失函数的GBDT分类。而对于对数似然损失函数，我们又有二元分类和多元分类的区别。

1、二元GBDT分类算法

对于二元GBDT，如果用类似于逻辑回归的对数似然损失函数，则损失函数为： $L(y, f(x)) = log(1+ exp(-yf(x)))$

其中 $y \in\{-1, +1\}$ 。则此时的负梯度误差为： $r_{ti} = -\bigg[\frac{\partial L(y, f(x_i)))}{\partial f(x_i)}\bigg]_{f(x) = f_{t-1}\;\; (x)} = y_i/(1+exp(y_if(x_i)))$

对于生成的决策树，我们各个叶子节点的最佳残差拟合值为： $c_{tj} = \underbrace{arg\; min}_{c}\sum\limits_{x_i \in R_{tj}} log(1+exp(-y_i(f_{t-1}(x_i) +c)))$

由于上式比较难优化，我们一般使用近似值代替： $c_{tj} = \sum\limits_{x_i \in R_{tj}}r_{ti}\bigg / \sum\limits_{x_i \in R_{tj}}|r_{ti}|(1-|r_{ti}|)$

除了负梯度计算和叶子节点的最佳残差拟合的线性搜索，二元GBDT分类和GBDT回归算法过程相同。

2 、多元GBDT分类算法

多元GBDT要比二元GBDT复杂一些，对应的是多元逻辑回归和二元逻辑回归的复杂度差别。假设类别数为K，则此时我们的对数似然损失函数为： $L(y, f(x)) = - \sum\limits_{k=1}^{K}y_klog\;p_k(x)$

其中如果样本输出类别为k，则 $y_k=1$ 。第k类的概率 $p_k(x)$ 的表达式为： $p_k(x) = exp(f_k(x)) \bigg / \sum\limits_{l=1}^{K} exp(f_l(x))$

集合上两式，我们可以计算出第 $t$ 轮的第 $i$ 个样本对应类别 $l$ 的负梯度误差为： $r_{til} = -\bigg[\frac{\partial L(y_i, f(x_i)))}{\partial f(x_i)}\bigg]_{f_k(x) = f_{l, t-1}\;\; (x)} = y_{il} - p_{l, t-1}(x_i)$

观察上式可以看出，其实这里的误差就是样本 $i$ 对应类别 $l$ 的真实概率和 $t-1$ 轮预测概率的差值。

对于生成的决策树，我们各个叶子节点的最佳残差拟合值为： $c_{tjl} = \underbrace{arg\; min}_{c_{jl}}\sum\limits_{i=0}^{m}\sum\limits_{k=1}^{K} L(y_k, f_{t-1, l}(x) + \sum\limits_{j=0}^{J}c_{jl} I(x_i \in R_{tj}))$

由于上式比较难优化，我们一般使用近似值代替： $c_{tjl} = \frac{K-1}{K} \; \frac{\sum\limits_{x_i \in R_{tjl}}r_{til}}{\sum\limits_{x_i \in R_{til}}|r_{til}|(1-|r_{til}|)}$

除了负梯度计算和叶子节点的最佳残差拟合的线性搜索，多元GBDT分类和二元GBDT分类以及GBDT回归算法过程相同。

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五 GBDT常用损失函数

这里我们再对常用的GBDT损失函数做一个总结。

对于分类算法，其损失函数一般有对数损失函数和指数损失函数两种:

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