第四节，图像的傅里叶变换

在讲解对图像进行傅里叶变换之前，我们先来了解一下傅里叶变换，毕竟也接近几年没有接触傅里叶变换了，也忘得差不多了。

傅里叶分析可分为傅里叶级数（Fourier Serie）和傅里叶变换（Fourier Transformation）。

傅里叶级数：所有周期信号都可以分解为不同频率的各次谐波分量。

$f(x)$ 为周期函数：

f (x) = a_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} c o s n x + b_{n} s i n n x)

$f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}(a_ncosnx+b_nsinnx)$

可以求出三个系数：

a_{0} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} f (x) d x

$a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)dx$

a_{n} = \frac{1}{π} \int_{0}^{2 π} f (x) c o s n x d x

$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)cosnxdx$

b_{n} = \frac{1}{π} \int_{0}^{2 π} f (x) s i n n x d x

$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)sinnxdx$

傅里叶变换：非周期信号可以看作不同频率的余弦分量叠加，其中频率分量可以是从0到无穷大任意频率，而不是像傅里叶级数一样由离散的谐波分量组成。

可以从傅里叶积分推导出傅里叶变换，这中间引入了虚数 $i$ ：

f (x) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} f (t) e^{- i w t} d t e^{i w t} d w

$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-iwt}dte^{iwt}dw$

得到：

F (w) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) e^{- i w x} d x

$F(w)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-iwx}dx$

f (x) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} F (w) e^{i w x} d w

$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(w)e^{iwx}dw$

$F(w)$ 为f(x)的傅里叶变换， $fx$ 为F(w)的傅里叶反变换。傅里叶变换与积分的区别在于 $w$ 的变化范围由 $[0,\infty)$ 扩展到 $(-\infty,\infty)$ 。

亲爱的读者和支持者们，自动博客加入了打赏功能，陆陆续续收到了各位老铁的打赏。在此，我想由衷地感谢每一位对我们博客的支持和打赏。你们的慷慨与支持，是我们前行的动力与源泉。