第四节，图像的傅里叶变换
在讲解对图像进行傅里叶变换之前，我们先来了解一下傅里叶变换，毕竟也接近几年没有接触傅里叶变换了，也忘得差不多了。
一、傅里叶变换
傅里叶分析可分为傅里叶级数（Fourier Serie）和傅里叶变换（Fourier Transformation）。
1.1 傅里叶级数
傅里叶级数：所有周期信号都可以分解为不同频率的各次谐波分量。
\(f(x)\)为周期函数：
\[f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}(a_ncosnx+b_nsinnx)
\]
可以求出三个系数：
\[a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)dx
\]
\[a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)cosnxdx
\]
\[b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)sinnxdx
\]
1.2 傅里叶变换
傅里叶变换：非周期信号可以看作不同频率的余弦分量叠加，其中频率分量可以是从0到无穷大任意频率，而不是像傅里叶级数一样由离散的谐波分量组成。
可以从傅里叶积分推导出傅里叶变换，这中间引入了虚数\(i\)：
\[f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-iwt}dte^{iwt}dw
\]
得到：
\[F(w)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-iwx}dx
\]
\[f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(w)e^{iwx}dw
\]
\(F(w)\)为f(x)的傅里叶变换，\(fx\)为F(w)的傅里叶反变换。傅里叶变换与积分的区别在于\(w\)的变化范围由\([0,\infty)\)扩展到\((-\infty,\infty)\)。
二、图像的傅里叶变换
图像是一个二维的信号，所以对它进行二维的傅里叶变换，对于MXN的一幅图像的离散二维傅里叶变换，公式如下：
\[F(u,v)=\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})}
\]
从公式上可以看出，\(F(u,v)\)与\(f(x,y)\)与并不是一一对应的关系，\(F(u,v)\)所对应的不是某一个\(f(x,y)\)而是所有的\(f(x,y)\)与\(e^{-j2\pi(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})}\)的乘积的和。因此\(F(0,0)\)就是所有像素的平均和。(这里的求和我们可以看做是傅里叶变换中的积分)
参考文献
[1] 图像的傅里叶变换
[3] 傅里叶变换和傅里叶级数的区别与联系（后续更新补充DTFT、DFS）
[4] 傅里叶级数与傅里叶变换
