LuoguP5017 摆渡车 $dp$

题意

戳这里

吐槽

听同学说今年\(pjT3\)很难，于是就去看了下。

一眼斜率优化...为什么\(n,m\)这么小啊...

感觉这题出的还是不错的。

Solution

首先我们先转化一波题意：给出数轴上\(n\)个点，让你选择若干个两两距离大于等于\(m\)的点，使得每个点到右边第一个你选的点的距离和最小。

大力\(dp\)，发现可以斜率优化。

\(pj\)会考斜率优化？

冷静一波，显然每个点的决策肯定在\([i-m*2,i-m]\)之间...

所以好像直接\(O(max(t_i)*m)\)转移常数小并不会\(T\)?

至少我\(Luogu\)数据过了...

#include<bits/stdc++.h>
#define For(i,x,y) for (register int i=(x);i<=(y);i++)
#define Dow(i,x,y) for (register int i=(x);i>=(y);i--)
#define cross(i,u) for (register int i=first[u];i;i=last[i])
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll read(){
    ll x=0;int ch=getchar(),f=1;
    while (!isdigit(ch)&&(ch!='-')) ch=getchar();
    if (ch=='-'){f=-1;ch=getchar();}
    while (isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
const int N = 1010, maxn = 5000110;
int n,m,Max,a[N],sum[maxn],Sum[maxn],dp[maxn];
bool vis[maxn];
inline void solve(){
	For(i,0,Max){
		dp[i]=Sum[i]*i-sum[i];
		For(j,max(0,i-2*m),i-m){
			int cnt=Sum[i]-Sum[j];
			dp[i]=min(dp[i],dp[j]+cnt*i-sum[i]+sum[j]);
		}
	}
	int ans=1e9;
	For(i,Max-m,Max) ans=min(ans,dp[i]);
	printf("%d",ans);
}
int main(){
	n=read(),m=read();
	For(i,1,n) a[i]=read(),Max=max(Max,a[i]),Sum[a[i]]++,sum[a[i]]+=a[i];
	Max+=m;
	For(i,1,Max) sum[i]+=sum[i-1],Sum[i]+=Sum[i-1];
	solve();
}

再冷静一波...好像有很多状态是没用的？

如果一个点前面的\(m\)个点中都没有给出的点那么\(dp_i=dp_{i-m}\)...

然后算下复杂度...好像是\(O(nm+max(t_i))\)

#include<bits/stdc++.h>
#define For(i,x,y) for (register int i=(x);i<=(y);i++)
#define Dow(i,x,y) for (register int i=(x);i>=(y);i--)
#define cross(i,u) for (register int i=first[u];i;i=last[i])
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll read(){
    ll x=0;int ch=getchar(),f=1;
    while (!isdigit(ch)&&(ch!='-')) ch=getchar();
    if (ch=='-'){f=-1;ch=getchar();}
    while (isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
const int N = 1010, maxn = 5000110;
int n,m,Max,a[N],sum[maxn],Sum[maxn],dp[maxn];
inline void solve(){
	For(i,0,Max){
		dp[i]=Sum[i]*i-sum[i];
		if (i>m&&Sum[i]-Sum[i-m]==0){dp[i]=dp[i-m];continue;} 
		For(j,max(0,i-2*m),i-m){
			int cnt=Sum[i]-Sum[j];
			dp[i]=min(dp[i],dp[j]+cnt*i-sum[i]+sum[j]);
		}
	}
	int ans=1e9;
	For(i,Max-m,Max) ans=min(ans,dp[i]);
	printf("%d",ans);
}
int main(){
	n=read(),m=read();
	For(i,1,n) a[i]=read(),Max=max(Max,a[i]),Sum[a[i]]++,sum[a[i]]+=a[i];
	Max+=m;
	For(i,1,Max) sum[i]+=sum[i-1],Sum[i]+=Sum[i-1];
	solve();
}

口胡

不难发现最后有用的点数是\(nm\)...

我们把这\(nm\)个点抠出来，基排一下，然后直接斜率优化\(dp\)应该能做到优秀的\(O(nm)\)的复杂度。

给我把nm开到1000w，ti开到1e9

\(upd:\)我第二个复杂度好像算错了...应该是\(O(nm^2+max(t_i))\)