1.4方程求根之弦截法

前言

牛顿迭代法固然具有收敛速度快，能求重根等优点，但是其具有一个明显的缺点，每一步迭代都需要求导，当函数的结构很复杂的时候，就很难使用牛顿迭代法，为了克服这些缺点，我们今天来学习一下弦截法。

（一）弦截法的分析

1.定义

将平均变化率：$\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}$ 近似为：$f\prime(x)$ ,则牛顿迭代公式改为：

\[x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}(x_k-x_{k-1}) \]

上式是弦截法的迭代公式。

由于$ \varphi(x)= x_k-\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}(x_k-x_{k-1})$ 与原方程$f(x)=0$ 等价。

当$k\rightarrow \infty$ 时，$x_k$就是$f(x)=0$的近似解。

该方法称为弦截法。

2.条件

f(x)是单调连续函数

需要知道两个初始值

3.思想

其总思想还是迭代的方法，只是其迭代公式是由牛顿迭代公式得来的，与牛顿迭代公式不同的是：用割线（截线）方程与轴的交点来近似f(x)与x轴的交点。

1.误差

任然用的是迭代法的误差，前后两次x的差的绝对值与我们给的精度比较。

（二）代码实现

1.算法流程图

弦截法.jpg

2.源代码

feval()函数：

def feval(string, a):
    """
        根据值来计算数学表达式。
    :param string: 含有x未知数的数学表达式
    :param a: 自变量x的具体数值
    :return:  数学表达式的计算结果
    """
    count = string.count("x")
    string = string.replace('x', '%f')
    t = (a, ) * count
    result = eval(string % t)
    return result

float_num()函数

def flaot_num(x, r):
    """
        处理保留几位小数点的函数,四舍五入法
    :param x: 原始数据
    :param r: 误差
    :return: 处理后的数据
    """
    # 处理小数点的位数
    r = str(r)
    if "." in r:
        dian = r.index(".")
        size = len(r[dian + 1:])
        result = round(x, size)
        return result
    elif "e" in r:
        dian = r.index("e")
        size = int(r[dian+2:])
        result = round(x, size)
        return result
    else:
        result = round(x, 0)
        return result

弦截法：

"""
    弦截法：另一种解方程跟的迭代方法
"""
from my_math.func_math import feval, flaot_num


def xian_jie_fun(expr, x0, x1, r):
    """
        迭代法求根
    :param expr: 待求得方程得根
    :param x0: 第一个初值
    :param x1: 第二个初值
    :param r: 误差
    :return: 求解的根
    """
    k = 0
    x2 = x1-(feval(expr, x1)/(feval(expr, x1)-feval(expr, x0)))*(x1 - x0)
    x3 = x2-(feval(expr, x2)/(feval(expr, x2)-feval(expr, x1)))*(x2 - x1)

    # 精度判断
    while abs(x3-x2) > r:
        x2 = x3 - (feval(expr, x3) / (feval(expr, x3) - feval(expr, x2))) * (x3 - x2)
        x3 = x2 - (feval(expr, x2) / (feval(expr, x2) - feval(expr, x3))) * (x2 - x3)
        k += 1
        print("*"*20)
        print("次数：", k)
        print("x2:", x2)
        print("x3:", x3)

    result = flaot_num(x3, r)
    print("="*30)
    print("原始的数据是", x3)
    print("最后的结果是：", result)
    return result


if __name__ == '__main__':
    x = xian_jie_fun("sin(x)-x**2/4", 1.8, 2.0, 10**-5)