1.2方程求根之不定点迭代法
目录
前言
本章节讲的是另一种基础的求解方程的方法，不定点迭代法。
（一）不定点迭代法的分析
1.定义：
一般地，为了求解非线性方程：
将其转换为等价的形式：
其中$\varphi(x) $ 称为迭代函数。由于（1）与（2）具有相同的解：
则构造迭代公式有：
给定初值\(x_0\) ,并且\(\varphi(x)\) 是连续函数，则有：
可得\(x^*\) 是方程的（4）的解，也是方程（1）\(f(x)=0\) 的解。
上面的方法就称为：不定点迭代法
2.条件：
- \(\varphi(x)\) 在[a,b]内连续，在(a,b)内可导。
- 对于任意的\(x \in [a,b]\) ,则有\(\varphi(x) \in [a,b]\)
- 在[a,b]内，存在一个常数L(0<L<1),使得\(|\varphi\prime(x)|\leq L < 1\),局部收敛
3.思想：
在收敛函数的前提下，不断的逼近真实值，直到满足我们的精度要求。
如下图，我们可以看到，给定初始值\(p_0\)后，经过几次的迭代，取值P很逼近两函数的交点，也就是方程的解。
4.误差：
要使\(x^*-x_k \leq \varepsilon\) ，只需要\(|x_{k+1}-x_k| \leq \varepsilon\)
即可以用迭代前后两次的近似根的绝对值大小，来判断\(x_k\)使否满足精度要求，从而终止迭代的条件。
（二）代码实现
1.流程图：
2.源代码：
（1）feval函数：
def feval(string, a):
"""
根据值来计算数学表达式。
:param string: 含有x未知数的数学表达式
:param a: 自变量x的具体数值
:return: 数学表达式的计算结果
"""
count = string.count("x")
string = string.replace('x', '%f')
t = (a, ) * count
result = eval(string % t)
return result
（2）不定点迭代法：
"""
不定点迭代法，不断的逼近求解的方法
"""
from my_math.func_math import feval
def item_fun(expr, x_0, r):
"""
不定点迭代法求解方程的根
:param expr: 迭代函数的表达式
:param r: 误差
:return: 结果值
"""
k = 0
# 第一次两点的差距
x_1 = feval(expr, x_0)
x_2 = feval(expr, x_1)
f_1 = abs(x_2 - x_1)
# 第二次两点的差距
x_1 = feval(expr, x_2)
x_2 = feval(expr, x_1)
f_2 = abs(x_2 - x_1)
# 判断迭代函数是否收敛
if f_1 <= f_2:
print("函数不收敛")
result = None
else:
while abs(x_2-x_1) > r:
x_1 = feval(expr, x_2)
x_2 = feval(expr, x_1)
k += 1
print('*' * 20)
print("次数", k)
print("x_k", x_1)
print("x_(k+1)", x_2)
result = x_2
print("最后的结果是：", result)
return result
if __name__ == '__main__':
item_fun("1+1/(x**2)", 1.45, 10**-15)
# 最后的结果是： 1.4655713791984073
（三）案例演示
1.求解：\(f(x)=x^3-x-1=0\)
（1）迭代函数的选择
将\(f(x)\)转化为等价的两种形式
1）\(f(x)\) 的图像：
可知，其在1.2~1.4之间有解决。
2）\(\varphi_1(x)=\sqrt[3]{x+1}\) 的图像：
函数收敛，取其初始值是：1.4
3）\(\varphi_2(x)=x^3-1\)的图像：
函数不收敛，不满足要求。
（2）运行结果
1）对于\(x=\varphi_1(x)=\sqrt[3]{x+1}\) 有：
要求其误差是：不超过10^-5
初始值是：1.4
次数： 1
x_k： 1.324736389945562
x_(k+1) ：1.3247213843988477
次数 2
x_k： 1.324718535206007
x_(k+1) ：1.324718155312702
最后的结果是： 1.324718155312702
取其结果是：1.32472
2）对于\(x = \varphi_2(x)=x^3-1\)有：
函数不收敛
最后的结果是： None
2.求解：\(f(x)=x^3-x^2-1=0\)
（1）函数的选择
将函数转化为下面几种等价的形式
\(f(x)\) 的图像
可知，其在1.0~1.5之间有根。
（2）运行结果
要求其误差是：不超过10^-5
初始值是：1.5
1)对于\(\varphi(x_1)=1+\frac{1}{x^2}\)
次数: 1
x_k: 1.4620902736993255
x_(k+1): 1.4677909186639455
…………
次数: 9
x_k: 1.465568837830036
x_(k+1): 1.4655726498903963
最后的结果是： 1.4655726498903963
取其结果是：1.46557
2）对于\(\varphi(x_2)=\sqrt[3]{1+x^2}\)
次数: 1
x_k: 1.466243022306503
x_(k+1): 1.4658768155675745
…………
次数: 4
x_k: 1.4655770399093733
x_(k+1): 1.4655738557111386
最后的结果是： 1.4655738557111386
取其结果是：1.46557
3）对于\(\varphi(x_3)=\frac{1}{\sqrt{x-1}}\)
函数不收敛
最后的结果是： None
取其结果是：无
4）对于\(\varphi(x_4)=\sqrt{x^3-1}\)
函数不收敛
最后的结果是： None
取其结果是：无
5）对于\(\varphi(x_5)=\frac{1}{x^2-x}\)
函数不收敛
最后的结果是： None
取其结果是：无
3.求解：\(f(x) = x^2-3=0\)
（1）函数的选择
将函数转化为下面几种等价的形式
\(f(x)\)的图像
可知，函数有两个根，其在-2与2附近之间有根。
（2）运行结果
要求其误差是：不超过10^-5
初始值是：-2与2
1）对于：\(\varphi(x_1)=x^2+x-3\)
函数不收敛
最后的结果是： None
取其结果值：无
2）对于：\(\varphi(x_2)=\frac{3}{x}\)
函数不收敛
最后的结果是： None
取其结果值：无
3）对于：\(\varphi(x_3)=x-\frac{1}{4}(x^2-3)\)
当初值为2时。
次数: 1
x_k: 1.732056325884
x_(k+1): 1.732051503216
最后的结果是： 1.732051503216
取为：1.73205
当初值为-2时。
次数: 1
x_k: 1.7079058866077501
x_(k+1): 1.728670273791
次数: 2
x_k: 1.731595007775
x_(k+1): 1.73198968899375
次数: 3
x_k: 1.7320426599749998
x_(k+1): 1.7320497615377501
最后的结果是： 1.7320497615377501
取为：1.73205
取其结果值：1.73205
4）对于：\(\varphi(x_4)=\frac{1}{2}(x+\frac{3}{x})\)
初始值是：2.0时，
最后的结果是： 1.7320508075688879
取为：1.7205
初始值是：-2.0时，
最后的结果是： -1.7320508075688879
取为：-1.73205
