BZOJ3130: [Sdoi2013]费用流
题解：
很容易想到一个问题，如果我们已经知道每条边最后的流量，那么单位容量应该怎么分配呢？
显然只要让最大流量的边的单位容量为p，其他都为0就可以得到满足题意的一种费用最大的方案。
那么我们就是要在最大流的情况下使得最大边,最小。
这显然可以二分。
然后就出现了一个问题：究竟是用实数二分还是整数二分？
经检验必须用实数来二分。。。整数估计只有10分。。。
我表示理解不了。。。希望神犇们能够帮我构造出一个例子。orz
UPD：hqy神犇给出了一个必须小数容量的例子，大家一起orz他吧。
（起点，终点，容量）
（1,3,3）
（1,2,3）
（2,3,3）
（3,4,2）
（3,5,2）
（3,6,1）
（4,7,2）
（5,7,2）
（6,7,2）
最大边最小是2.5
代码：
1 #include<cstdio> 2 3 #include<cstdlib> 4 5 #include<cmath> 6 7 #include<cstring> 8 9 #include<algorithm> 10 11 #include<iostream> 12 13 #include<vector> 14 15 #include<map> 16 17 #include<set> 18 19 #include<queue> 20 21 #include<string> 22 23 #define inf 1000000000 24 25 #define maxn 2000+5 26 27 #define maxm 2000+5 28 29 #define eps 1e-9 30 31 #define ll long long 32 33 #define pa pair<int,int> 34 35 #define for0(i,n) for(int i=0;i<=(n);i++) 36 37 #define for1(i,n) for(int i=1;i<=(n);i++) 38 39 #define for2(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++) 40 41 #define for3(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--) 42 43 #define for4(i,x) for(int i=head[x],y;i;i=e[i].next) 44 45 #define mod 1000000007 46 47 using namespace std; 48 49 inline int read() 50 51 { 52 53 int x=0,f=1;char ch=getchar(); 54 55 while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();} 56 57 while(ch>='0'&&ch<='9'){x=10*x+ch-'0';ch=getchar();} 58 59 return x*f; 60 61 } 62 int n,m,s,t,p,tot=1,head[maxn],cur[maxn],h[maxn]; 63 double ans,maxflow; 64 queue<int>q; 65 struct edge{int go,next;double v;}e[maxm]; 66 struct rec{int u,v;double w;}a[maxm]; 67 inline void add(int x,int y,double v) 68 { 69 e[++tot]=(edge){y,head[x],v};head[x]=tot; 70 e[++tot]=(edge){x,head[y],0.0};head[y]=tot; 71 } 72 bool bfs() 73 { 74 for(int i=s;i<=t;i++)h[i]=-1; 75 q.push(s);h[s]=0; 76 while(!q.empty()) 77 { 78 int x=q.front();q.pop(); 79 for(int i=head[x];i;i=e[i].next) 80 if(e[i].v>eps&&h[e[i].go]==-1) 81 { 82 h[e[i].go]=h[x]+1;q.push(e[i].go); 83 } 84 } 85 return h[t]!=-1; 86 } 87 double dfs(int x,double f) 88 { 89 if(x==t) return f; 90 double tmp,used=0; 91 for(int i=cur[x];i;i=e[i].next) 92 if(e[i].v>eps&&h[e[i].go]==h[x]+1) 93 { 94 tmp=dfs(e[i].go,min(e[i].v,f-used)); 95 e[i].v-=tmp;if(e[i].v)cur[x]=i; 96 e[i^1].v+=tmp;used+=tmp; 97 if(fabs(used-f)<eps)return f; 98 } 99 if(used<eps) h[x]=-1; 100 return used; 101 } 102 bool dinic(double mid) 103 { 104 memset(head,0,sizeof(head));tot=1; 105 for1(i,m)add(a[i].u,a[i].v,min(a[i].w,mid)); 106 maxflow=0.0; 107 while(bfs()) 108 { 109 for (int i=s;i<=t;i++)cur[i]=head[i];maxflow+=dfs(s,inf); 110 } 111 //cout<<mid<<' '<<maxflow<<endl; 112 return fabs(maxflow-ans)<eps; 113 } 114 115 int main() 116 117 { 118 n=read();m=read();p=read();s=1;t=n;double mx=0; 119 for1(i,m)a[i].u=read(),a[i].v=read(),a[i].w=read(),mx=max(mx,a[i].w); 120 dinic(mx);ans=maxflow; 121 double l=0.0,r=mx; 122 while(r-l>1e-6) 123 { 124 double mid=(l+r)/2; 125 if(dinic(mid))r=mid;else l=mid; 126 } 127 printf("%.0f\n%.5f\n",ans,l*p); 128 return 0; 129 130 }
3130: [Sdoi2013]费用流
Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 128 MBSec Special JudgeSubmit: 476 Solved: 270
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Description
Alice和Bob在图论课程上学习了最大流和最小费用最大流的相关知识。
最大流问题：给定一张有向图表示运输网络，一个源点S和一个汇点T，每条边都有最大流量。一个合法的网络流方案必须满足：(1)每条边的实际流量都不超过
其最大流量且非负；(2)除了源点S和汇点T之外，对于其余所有点，都满足该点总流入流量等于该点总流出流量；而S点的净流出流量等于T点的净流入流量，
这个值也即该网络流方案的总运输量。最大流问题就是对于给定的运输网络，求总运输量最大的网络流方案。
上图表示了一个最大流问题。对于每条边，右边的数代表该边的最大流量，左边的数代表在最优解中，该边的实际流量。需要注意到，一个最大流问题的解可能不是
唯一的。
对于一张给定的运输网络，Alice先确定一个最大流，如果有多种解，Alice可以任选一种；之后Bob在每条边上分配单位花费（单位花费必须是非负实
数），要求所有边的单位花费之和等于P。总费用等于每一条边的实际流量乘以该边的单位花费。需要注意到，Bob在分配单位花费之前，已经知道Alice所
给出的最大流方案。现茌Alice希望总费用尽量小，而Bob希望总费用尽量大。我们想知道，如果两个人都执行最优策略，最大流的值和总费用分别为多少。
Input
第一行三个整数N，M，P。N表示给定运输网络中节点的数量，M表示有向边的数量，P的含义见问题描述部分。为了简化问题，我们假设源点S是点1，汇点T是点N。
接下来M行，每行三个整数A，B，C，表示有一条从点A到点B的有向边，其最大流量是C。
Output
第一行一个整数，表示最大流的值。
第二行一个实数，表示总费用。建议选手输出四位以上小数。
Sample Input
2 3 1 5
Sample Output
10.0000
HINT
【样例说明】
对于Alice，最大流的方案是固定的。两条边的实际流量都为10。
对于Bob，给第一条边分配0.5的费用，第二条边分配0.5的费用。总费用
为：10*0.5+10*0.5=10。可以证明不存在总费用更大的分配方案。
【数据规模和约定】
对于20%的测试数据：所有有向边的最大流量都是1。
对于100%的测试数据：N < = 100，M < = 1000。
对于l00%的测试数据：所有点的编号在I..N范围内。1 < = 每条边的最大流
量 < = 50000。1 < = P < = 10。给定运输网络中不会有起点和终点相同的边。
