BZOJ3142: [Hnoi2013]数列

3142: [Hnoi2013]数列

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Description

小 T最近在学着买股票，他得到内部消息：F公司的股票将会疯涨。股票每天的价格已知是正整数，并且由于客观上的原因，最多只能为N。在疯涨的K天中小T观察 到：除第一天外每天的股价都比前一天高，且高出的价格（即当天的股价与前一天的股价之差）不会超过M，M为正整数。并且这些参数满足M(K- 1)<N。
小T忘记了这K天每天的具体股价了，他现在想知道这K天的股价有多少种可能

Input

只有一行用空格隔开的四个数：N、K、M、P。对P的说明参见后面“输出格式”中对P的解释。
输入保证20%的数据M,N,K,P≤20000，保证100%的数据M,K,P≤109，N≤1018 。

Output

仅包含一个数，表示这K天的股价的可能种数对于P的模值。【输入输出样例】

Sample Input

7 3 2 997

Sample Output

16
【样例解释】
输出样例的16表示输入样例的股价有16种可能：
{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{1，3，5}， {2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{2，4，6}， {3，4，5}，{3，4，6}，{3，5，6}，{3，5，7}，{4，5，6}，{4，5，7}，{4，6，7}，{5，6，7}

HINT

Source

题解：

兰多夫：

我们可以枚举每两天的差值，对于每一个差值序列a[1],a[2],...,a[k-1]

有N-a[1]-a[2]-...-a[k-1]种方法，然后求和

因为N>M(K-1)，所以一共有M^(K-1)个不同的序列

ans加上一个N*M^(K-1)，再考虑减法的部分

M^(K-1)个数列一共有M^(K-1)*(K-1)个数字，1到M出现次数是一样的，为M^(K-2)*(K-1)

所以ans减去M^(K-1)*(K-1)*(M+1)/2

ans=N*M^(K-1)-M^(K-1)*(K-1)*(M+1)/2


最后一步建议不要把k搞上去，否则后出现模除法，而模数没有保证是质数，比较麻烦。
所以ans=n*k^(m-1)-k^(m-2) *(m-1)*(k)*(k+1)/2
提公因式之后是 k^(m-2) *(nk-(m-1)*k*(k+1)/2)
真是道巧妙的好题！
代码：

#include<cstdio>

#include<cstdlib>

#include<cmath>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#include<iostream>

#include<vector>

#include<map>

#include<set>

#include<queue>

#include<string>

#define inf 1000000000

#define maxn 500+100

#define maxm 500+100

#define eps 1e-10

#define ll long long

#define pa pair<int,int>

#define for0(i,n) for(int i=0;i<=(n);i++)

#define for1(i,n) for(int i=1;i<=(n);i++)

#define for2(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)

#define for3(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)

#define mod 1000000007

using namespace std;

inline ll read()

{

    ll x=0,f=1;char ch=getchar();

    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}

    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=10*x+ch-'0';ch=getchar();}

    return x*f;

}
ll n,m,k,p;
inline ll power(ll x,ll y)
{
    ll t=1;
    for(;y;y>>=1,x=(x*x)%p)
        if(y&1)t=(t*x)%p;
    return t;
}

int main()

{

    freopen("input.txt","r",stdin);

    freopen("output.txt","w",stdout);

    n=read();m=read();k=read();p=read();
    printf("%lld\n",(power(k,m-2)*(((n%p)*(k%p)-((m-1)%p)*((k*(k+1)/2)%p))%p+p)%p)%p);

    return 0;

}