CH Round #53 -GCD Path

描述

给定一张N个点的有向图，点i到点j有一条长度为 i/(gcd(i,j))的边。有Q个询问，每个询问包含两个数x和y，求x到y的最短距离。

输入格式

第一行包含两个用空格隔开的整数，N和Q。
接下来Q行，每行两个数x和y。

输出格式

输出Q行整数，表示从x到y的最短距离。

样例输入

6 2
4 6
2 5

样例输出

2
2

数据范围与约定

  • 对于30%的数据，1<=N<=100。
  • 对于70%的数据，1<=N<=10^5。
  • 对于100%的数据，1<=N<=10^7，1<=x,y<=N，Q<=10^5。

题解：
忽然发现，求1-n的质因数分解的和是可以线性筛的，怒赞！
为何不卡我们这些q*sqrt（n）的？出题人良心，好评！！！
代码：

 1 #include<cstdio>
 2 
 3 #include<cstdlib>
 4 
 5 #include<cmath>
 6 
 7 #include<cstring>
 8 
 9 #include<algorithm>
10 
11 #include<iostream>
12 
13 #include<vector>
14 
15 #include<map>
16 
17 #include<set>
18 
19 #include<queue>
20 
21 #include<string>
22 
23 #define inf 1000000000
24 
25 #define maxn 10000000+1000
26 
27 #define maxm 500+100
28 
29 #define eps 1e-10
30 
31 #define ll long long
32 
33 #define pa pair<int,int>
34 
35 #define for0(i,n) for(int i=0;i<=(n);i++)
36 
37 #define for1(i,n) for(int i=1;i<=(n);i++)
38 
39 #define for2(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)
40 
41 #define for3(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)
42 
43 #define mod 1000000007
44 
45 using namespace std;
46 
47 inline int read()
48 
49 {
50 
51     int x=0,f=1;char ch=getchar();
52 
53     while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
54 
55     while(ch>='0'&&ch<='9'){x=10*x+ch-'0';ch=getchar();}
56 
57     return x*f;
58 
59 }
60 int n,m,tot,p[maxn],f[maxn];
61 bool check[maxn];
62 inline int gcd(int x,int y){return y?gcd(y,x%y):x;}
63 void get()
64 {
65     f[1]=1;tot=0;
66     for2(i,2,n)
67     {
68         if(!check[i]){p[++tot]=i;f[i]=i;};
69         for1(j,tot)
70         {
71             int k=p[j]*i;
72             if(k>n)break;
73             check[k]=1;
74             f[k]=f[i]+p[j];
75             if(i%p[j]==0)break;
76         }
77     }
78 }
79 
80 int main()
81 
82 {
83 
84     freopen("input.txt","r",stdin);
85 
86     freopen("output.txt","w",stdout);
87 
88     n=read();m=read();get();
89     while(m--)
90     {
91         int x=read(),y=read();
92         if(x==y){printf("0\n");continue;};
93         printf("%d\n",f[x/gcd(x,y)]);
94     }
95 
96     return 0;
97 
98 }
View Code

 补一下为什么质因数分解就是ans

假设求x->y的最短路，则直接走 这条路  长度为x/gcd（x，y）设这个长度的质因数分解为a1*a2*a3*a4……(两项可以相等）

然后要用到一个结论：

若a>=2,b>=2,则a+b<=a*b

移项就是 （1-a）*（1-b）>=1  这是显然的。

所以我们不妨把这个长度分开来走，

因为每拆一项都会使答案减小或不边，那我们不妨直接将该数全部分解为质数，一个一个质数来走。  

举个例子

100-1，则100/gcd（100，1）的质因数分解为2*2*5*5

我们不妨使每次走的长度为2 2 5 5，而2+2+5+5=14<100 这样使长度之和达到最小。

所以我们可以这样走 100->50->25->5->1->1   

有没有更短的路径呢？严格证法还待yy，不过貌似直觉上是显然的？

posted @ 2014-09-22 18:54  ZYF-ZYF  Views(314)  Comments(0)  Edit  收藏  举报