BZOJ1662: [Usaco2006 Nov]Round Numbers

1662: [Usaco2006 Nov]Round Numbers

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Description

正如你所知，奶牛们没有手指以至于不能玩“石头剪刀布”来任意地决定例如 谁先挤奶的顺序。她们甚至也不能通过仍硬币的方式。 所以她们通过"round number"竞赛的方式。第一头牛选取一个整数，小于20亿。 第二头牛也这样选取一个整数。如果这两个数都是 "round numbers"，那么第一 头牛获胜，否则第二头牛获胜。 如果一个正整数N的二进制表示中，0的个数大于或等于1的个数，那么N就被称为 "round number" 。例如，整数9，二进制表示是1001，1001 有两个'0'和两个'1'; 因此，9是一个round number。26 的二进制表示是 11010 ; 由于它有2个'0'和 3个'1'，所以它不是round number。 很明显，奶牛们会花费很大精力去转换进制，从而确定谁是胜者。 Bessie 想要 作弊，而且认为只要她能够知道在一个指定区间范围内的"round numbers"个数。 帮助她写一个程序，能够告诉她在一个闭区间中有多少Hround numbers。区间是 [start, finish]，包含这两个数。 (1 <= Start < Finish <= 2,000,000,000)

Input

* Line 1: 两个用空格分开的整数，分别表示Start 和 Finish。

Output

* Line 1: Start..Finish范围内round numbers的个数

Sample Input

2 12

Sample Output

6

输出解释:

2 10 1x0 + 1x1 ROUND
3 11 0x0 + 2x1 NOT round
4 100 2x0 + 1x1 ROUND
5 101 1x0 + 2x1 NOT round
6 110 1x0 + 2x1 NOT round
7 111 0x0 + 3x1 NOT round
8 1000 3x0 + 1x1 ROUND
9 1001 2x0 + 2x1 ROUND
10 1010 2x0 + 2x1 ROUND
11 1011 1x0 + 3x1 NOT round
12 1100 2x0 + 2x1 ROUND

HINT

 

Source

Silver

题解：

看着别人的题解不满意于是自己来写份。。。

很明显的数位统计，与花神的数论题差不多。

首先将问题转化为ans（r）-ans（l-1）

然后考虑如何求1-x中转化为2进制sum（0）>sum（1）的个数的数

假设 x 的二进制为a数组

则 从最高位开始枚举为1的位

假设当前枚举到 i 位，那我们就统计  前i-1位与x都相同，但i位为0的满足条件的数

首先这样的数肯定是<x,那怎么统计0的个数>1的个数的数的个数呢

很简单，记当前0的个数为s0，1的个数为s1，还剩w个自由选择的位，则要满足条件，需要s0+s‘0>=s1+w-s'0，即s'0>=(s1-s0+w)/2,

那我们只要 c(w,(s1-s0+w)/2）*2^(w-(s1-s0+w)/2)，意思是事先选出 （s1-s0+w）/2个位置全放上0，然后剩下的随便。

当然还有许多细节需要考虑，比如最高位显然选为0的话，它是不能计入最后的答案的，所以我们要特判最高位，即我们需要统计小于等于10000000……的满足题意的数

可以转化为10000000……-1=11111111……对它进行统计答案，再加上1，当然最后的1要特判。

代码的实现估计会有很多细节，待UPD。。。

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

UPD：以上内容实属脑残。。。

应该是 令t=(s1-s0+w)/2，则 ans+=c(w,t)+c(w,t+1)+c(w,t+2)……c(w,w)

最高位特判的时候应该 枚举这个数的最高位，直接用组合数得出答案

把 组合数处理成前缀和的形式就很好搞了。

具体可以见代码

代码：

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#include<queue>
#include<string>
#define inf 1000000000
#define maxn 500+100
#define maxm 500+100
#define eps 1e-10
#define ll long long
#define pa pair<int,int>
#define for0(i,n) for(int i=0;i<=(n);i++)
#define for1(i,n) for(int i=1;i<=(n);i++)
#define for2(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)
#define for3(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)
#define mod 1000000007
using namespace std;
inline ll read()
{
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=10*x+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
ll c[50][50],cc[50][50],s[2],a[50],l,r;
ll work(ll n)
{
    a[0]=0;
    while(n)a[++a[0]]=n&1,n>>=1;
    ll t=0;
    for1(i,a[0]-1)
     {
         int x=i;
        if(x&1)x=(x>>1)+1;else x>>=1;
         t+=cc[i-1][x];
     }
    s[0]=0;s[1]=1; 
    for3(i,a[0]-1,1)
    {
        if(a[i])
         {
             int x=s[1]-s[0]-1+i-1;
             if(x<=0)x=0;
             else if(x&1)x=(x>>1)+1;
                else x>>=1;
             t+=cc[i-1][x];
         }
        s[a[i]]++;
    }
    if(s[0]>=s[1])t++;
    t++;
    return t;
}
int main()
{
    freopen("input.txt","r",stdin);
    freopen("output.txt","w",stdout);
    cc[0][0]=c[0][0]=1;
    for1(i,35)
     {
         c[i][0]=c[i][i]=1;
         for1(j,i-1)c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
         cc[i][i]=1;
         for3(j,i-1,0)cc[i][j]=cc[i][j+1]+c[i][j];
     }
    l=read();r=read();
    printf("%lld\n",work(r)-work(l-1));
    return 0;
}