BZOJ1109: [POI2007]堆积木Klo

1109: [POI2007]堆积木Klo

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Description

Mary在她的生日礼物中有一些积木。那些积木都是相同大小的立方体。每个积木上面都有一个数。Mary用他的所有积木垒了一个高塔。妈妈告诉Mary游戏的目的是建一个塔，使得最多的积木在正确的位置。一个上面写有数i的积木的正确位置是这个塔从下往上数第i个位置。Mary决定从现有的高塔中移走一些，使得有最多的积木在正确的位置。请你告诉Mary她应该移走哪些积木。

Input

输入文件的第一行为一个数n，表示高塔的初始高度。第二行包含n个数a1,a2,...,an，表示从下到上每个积木上面的数。(1<=n<=100000,1<=ai<=1000000)。

Output

注意：请输出最多有多少点可以处在正确位置

Sample Input

5
1 1 2 5 4

Sample Output

3

HINT

 

 

 

Source

题解：

这题搁置了好几个星期。。。

一开始我想到了直接LIS，以为就是正解，然后狂WA，看了seter的题解才知道我小看了poi的题目233333

seter的题解：

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先列下DP方程。令f[i]是第i个积木在自己的位置上时，前i个积木中最多能归位的数目。

f[i]=max{f[j]|i>j,a[i]>a[j],a[i]-a[j]<=i-j}+1

其中a[i]>a[j]是保证i,j都在自己的位置上，a[i]-a[j]<=i-j是为了保证中间有足够的积木让i能在a[i]这个位置上。

为了让每个限制只和位置有关，a[i]-a[j]<=i-j可以变形为a[i]-i<=a[j]-j。

这样一弄，好像就是一个LIS嘛！//我想到这儿，囧。。。。

问题来了，这个东西有两个变量，难道要像LIS2那样乱搞？

我们将下面两个式子加起来，

1：a[i]-i<=a[j]-j ===> -a[i]+i>=-a[j]+j

2：                                  a[i]>a[j]

得到i>j……说明只要满足a[i]>a[j]和a[i]-i<=a[j]-j，则一定满足i>j！

那么就只要按照a[i]-i排序（你想按照a[i]排序也行，那样两数相等就在求LIS的时候判了），求LIS即可。

由于a[i]-i相等时，a[i]升序就可以使答案最大化，所以排序的时候第二关键字要弄成a[i]。

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最后的神转化呀，我等蒟蒻只能orzzzzzzz

代码：