HNOI2008Cards

看了一下polya和burnside定理，感觉还行（就是不会证……）

这题用的是burnside

ans=在每个置换群下不动的方案数之和除以置换数

这题有个难点在取模

关于对p（p为素数）取模（涉及到了除法），我总结了两种方法：

已知x mop p=y，要求x/z mod p=？

大体思路是利用乘法逆，将/z转换成*z的逆元即可

一、利用费马小定理

     z^p-1 mod p=1 

     所以z的逆元=power_mod（z,p-2,p）

二、利用拓展欧几里德算法，即exgcd（z，p，x，y） 

      while x<0 do inc(x,p)

      事实上，这也是乘法逆的思想

      exgcd（z，p，x，y） 这实际上是在解同余方程zx mod p=1

      x不就是z的逆元吗

但是当p不是素数时，应该怎么办呢？

在做noi2002robot的时候，我运用了一种特殊的方法，最后需要求x>>1 mod p=?

我在过程中始终对p取模，到最后感觉做不下去了

后来我灵机一动，想到了多取一位 在过程中mod 10p  

这样 最后输出的时候再mod p 答案就正确了

不知道这样的方法能否应用在更广泛的地方……

ps:刚才试了一下此题

    在过程中一直对m*p取模，最后ans div m 再对p取模，竟然AC了 

    原理在哪里？

代码：

神牛Green Clouds 的代码（费马小定理）：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
 
using namespace std ;
 
const int maxn =21;
 
int sr , sb , sg , m , mod , f[ maxn ][ maxn ][ maxn ], a[ maxn *3], n ;
bool used[ maxn *3];
int v[ maxn *3], cnt , ans =0;
 
void update(int&num ,int val ){
    ( num += val )%= mod ;
}
 
int power(int val ,int times ){
    int rec =1;
    for(; times ; times >>=1){
        if( times &1)( rec *= val )%= mod ;
        ( val *= val )%= mod ;
    }
    return rec ;
}
 
int main(  ){
    scanf("%d%d%d%d%d",&sr ,&sb ,&sg ,&m ,&mod );
    n = sr + sb + sg ;
    for(int w =0; w ++< m +1;){
        if( w < m +1)for(int i =0; i ++< n ;)scanf("%d", a + i );
        else for(int i =0; i ++< n ;) a[ i ]= i ;
        memset( used ,false,sizeof( used ));
        cnt =0;
        for(int i =0; i ++< n ;)if(! used[ i ]){
            v[++ cnt ]=0;
            for(int j = i ;! used[ j ]; j = a[ j ]){
                ++ v[ cnt ], used[ j ]=true;
            }
        }
        memset( f ,0,sizeof( f ));
        f[0][0][0]=1;
        for(int h =0; h ++< cnt ;){
            for(int i = sr ; i >=0;-- i ){
                for(int j = sb ; j >=0;-- j ){
                    for(int k = sg ; k >=0;-- k ){
                        if( i >= v[ h ])update( f[ i ][ j ][ k ], f[ i - v[ h ]][ j ][ k ]);
                        if( j >= v[ h ])update( f[ i ][ j ][ k ], f[ i ][ j - v[ h ]][ k ]);
                        if( k >= v[ h ])update( f[ i ][ j ][ k ], f[ i ][ j ][ k - v[ h ]]);
                    }
                }
            }
        }
        update( ans , f[ sr ][ sb ][ sg ]);
    }
    ( ans *=power( m +1, mod -2))%= mod ;
    printf("%d\n", ans );
    return 0;
}

 

exgcd：

var s1,s2,s3,n,m,p,ans,i,j,x,y:longint;
    a:array[0..70,0..70] of longint;
    f:array[0..25,0..25,0..25] of longint;
function mo(x:longint):longint;
 begin
   mo:=x mod (p);
 end;
procedure init;
 begin
   readln(s1,s2,s3,m,p);
   n:=s1+s2+s3;
   for i:=1 to m do
    for j:=1 to n do
     read(a[i,j]);
   inc(m);
   for i:=1 to n do a[m,i]:=i;
 end;
function dp(x:longint):longint;
 var i,j,k,tot,y,h,num:longint;
     v:array[0..70] of boolean;
     d:array[0..70] of longint;
 begin
   tot:=0;
   fillchar(v,sizeof(v),false);
   for i:=1 to n do
    if not(v[i]) then
     begin
       num:=1;
       v[i]:=true;
       y:=i;
       while a[x,y]<>i do
        begin
         y:=a[x,y];
         v[y]:=true;
         inc(num);
        end;
       inc(tot);
       d[tot]:=num;
     end;
   fillchar(f,sizeof(f),0);
   f[0,0,0]:=1;
   for h:=1 to tot do
    for i:=s1 downto 0 do
     for j:=s2 downto 0 do
      for k:=s3 downto 0 do
       begin
        if i>=d[h] then f[i,j,k]:=mo(f[i,j,k]+f[i-d[h],j,k]);
        if j>=d[h] then f[i,j,k]:=mo(f[i,j,k]+f[i,j-d[h],k]);
        if k>=d[h] then f[i,j,k]:=mo(f[i,j,k]+f[i,j,k-d[h]]);
       end;
   exit(f[s1,s2,s3]);
   end;
procedure exgcd(a,b:longint;var x,y:longint);
 var t:longint;
 begin
 if a=1 then begin x:=1;y:=0;exit;end;
 exgcd(b,a mod b,x,y);
 t:=x;x:=y;y:=t-(a div b)*x;
 end;
procedure main;
 begin
   ans:=0;
   for i:=1 to m do
    ans:=mo(ans+dp(i));
   exgcd(m,p,x,y);
   while x<0 do inc(x,p);
   writeln((ans*x) mod p);
 end;
begin
  init;
  main;
end.         

m*p：

var s1,s2,s3,n,m,p,ans,i,j,x,y:longint;
    a:array[0..70,0..70] of longint;
    f:array[0..25,0..25,0..25] of longint;
function mo(x:longint):longint;
 begin
   mo:=x mod (m*p);
 end;
procedure init;
 begin
   readln(s1,s2,s3,m,p);
   n:=s1+s2+s3;
   for i:=1 to m do
    for j:=1 to n do
     read(a[i,j]);
   inc(m);
   for i:=1 to n do a[m,i]:=i;
 end;
function dp(x:longint):longint;
 var i,j,k,tot,y,h,num:longint;
     v:array[0..70] of boolean;
     d:array[0..70] of longint;
 begin
   tot:=0;
   fillchar(v,sizeof(v),false);
   for i:=1 to n do
    if not(v[i]) then
     begin
       num:=1;
       v[i]:=true;
       y:=i;
       while a[x,y]<>i do
        begin
         y:=a[x,y];
         v[y]:=true;
         inc(num);
        end;
       inc(tot);
       d[tot]:=num;
     end;
   fillchar(f,sizeof(f),0);
   f[0,0,0]:=1;
   for h:=1 to tot do
    for i:=s1 downto 0 do
     for j:=s2 downto 0 do
      for k:=s3 downto 0 do
       begin
        if i>=d[h] then f[i,j,k]:=mo(f[i,j,k]+f[i-d[h],j,k]);
        if j>=d[h] then f[i,j,k]:=mo(f[i,j,k]+f[i,j-d[h],k]);
        if k>=d[h] then f[i,j,k]:=mo(f[i,j,k]+f[i,j,k-d[h]]);
       end;
   exit(f[s1,s2,s3]);
   end;
procedure main;
 begin
   ans:=0;
   for i:=1 to m do
    ans:=mo(ans+dp(i));
   writeln((ans div m) mod p);
 end;
begin
  init;
  main;
end.