欧拉函数

欧拉函数Euler(x)

Euler(n)表示1-n之间与n互质的个数,例如Euler(4) = 2，其中1和3与4互质。（数论里面规定Euler(1) = 1,并且1与任何数互质）。

欧拉函数的通项表达式为：

还有其一些推论：

当n >= 1时，1 - n中与n互质的整数和为nEuler(n)/2;

那欧拉函数怎么求呢？

首先我们再来学习下一个概念：积性函数。

函数f（x)对于任意正整数a, b，如果a,b互质并且满足f(ab) = f(a)f(b),则f(x)为积性函数。其中若a,b不互质仍满足f(ab) = f(a)f(b)则称f(x)为完全积性函数。

对于一个数n和他的约数p:

对于任意一个正整数n, 均有：

再根据积性函数的性质得：

也就是先预处理使Euler[i] = i,再去考虑能被n的质因数，只要把其中一个质因数p改成p - 1即可。

附上伪代码：

const int N = 1000000 + 5;

int euler[N];

void euler_function(){
    for(int i = 0; i <= N - 5; i ++) euler[i] = i;
    for(int i = 2; i <= N - 5; i ++)
        if(euler[i] == i)
            for(int j = 1; i * j <= N - 5; j ++) 
                euler[i * j] = euler[i * j] / i * (i - 1);
}

　当然，上述算法（类似于埃式筛法）的复杂度为（n + nloglogn)。

然后我们再想想筛选素数的方法除了埃式筛法，还有更快速的线筛（素数筛选传送门）

附上代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1000000 + 5;

int n;

int check[N], euler[N], prime[N];

void euler_function(){
    memset(check, 0, sizeof(check));
    euler[1] = 1;
    int tot = 0;
   for(int i = 2; i <= N - 5; i ++){
        if(!check[i]){
            prime[tot ++] = i;
            euler[i] = i - 1;
        }
        for(int j = 0; j < tot; j ++){
            if(i * prime[j] > N - 5) break;
            check[i * prime[j]] = 1;
            if(i % prime[j] == 0){
                euler[i * prime[j]] = euler[i] * prime[j];
                break;
            }
            else euler[i * prime[j]] = euler[i] * (prime[j] - 1);
        }
    }
}

int main(){
    euler_function();
    while(scanf("%d", &n) == 1)printf("%d\n", euler[n]);
    return 0;
}

　　

 参考论文 ：http://www.docin.com/p-687551303.html