最小生成树的Kruskal算法实现

最近在复习数据结构，所以想起了之前做的一个最小生成树算法。用Kruskal算法实现的，结合堆排序可以复习回顾数据结构。现在写出来与大家分享。

　　最小生成树算法思想：书上说的是在一给定的无向图G = (V, E) 中，(u, v) 代表连接顶点 u 与顶点 v 的边（即），而 w(u, v) 代表此边的权重，若存在 T 为 E 的子集（即）且为无循环图，使得的 w(T) 最小，则此 T 为 G 的最小生成树。说白了其实就是在含有 n 个顶点的连通网中选择 n-1 条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中 n-1 条边上权值之和达到最小，则称最小生成树。

　　本程序用的是克鲁斯卡尔算法（Kruskal），也可以使用prim算法实现。Kruskal思想是在带权连通图中，不断地在排列好的边集合中找到最小的边，如果该边满足得到最小生成树的条件，就将其构造，直到最后得到一颗最小生成树。

 图的顶点存储结构体：

//结构体定义，储存图的顶点
typedef struct { 
    int from; //边的起始顶点
    int to;   //边的终止顶点
    int cost; //边的权值
}Edge;

 问题：顶点编号的类型。

　　好的程序应该可以扩展，不论顶点用0,1,2...  顺序编号还是用5,2,1,7... 乱序编号还是用a,b,c...  英文编号都应该可以做到兼容通过，所以在存储图的节点的时候我做了一个映射，就是不论输入的什么编号一律转换成顺序编号0,1,2...，在最后输出的时候再把编号映射回原来的编号，这样就可以应对不同而顶点编号。如下面程序：

for(i = 0;i < edgeNum; i++){
    printf("请输入第 %d 条边！\n",i+1);
    scanf(" %c %c %d",&from,&to,&cost); 
    edge_temp[i][0] = judge_num(from); 
    edge_temp[i][1] = judge_num(to);
    edge_temp[i][2] = cost; 
}
//对输入的边和点信息进行堆排序
HeapSort(edge_temp,edgeNum);
int j;
for(j = 0;j < edgeNum; j++){
    edge[j].from = edge_temp[j][0]; 
    edge[j].to = edge_temp[j][1]; 
    edge[j].cost = edge_temp[j][2];   
}

每次输入顶点后都会先保存到临时存储数组edge_temp中，进行堆排序后再把数据白存在真正的数据中。其中判断是否形成回路借助了一个递归方法：

//用于判断是否形成回路
int judge(int num){  
    if(num == judge_temp[num]){
        return judge_temp[num]; 
    } 
    return judge_temp[num] = judge(judge_temp[num]);  
}

执行步骤：

1：在带权连通图中，将边的权值排序（本程序用的是堆排序）；

2：判断是否需要选择这条边（此时的边已按权值从小到大排好序）。判断的依据是边的两个顶点是否已连通，如果连通则继续下一条；如果不连通，那么就选择使其连通。

3：循环第二步，直到图中所有的顶点都在同一个连通分量中，即得到最小生成树。

判断法则：（当将边加入到已找到边的集合中时，是否会形成回路？）

  1：如果没有形成回路，那么直接将其连通。此时，对于边的集合又要做一次判断：这两个点是否在已找到点的集合中出现过？如果两个点都没有出现过，那么将这 两个点都加入已找到点的集合中；如果其中一个点在集合中出现过，那么将另一个没有出现过的点加入到集合中；如果这两个点都出现过，则不用加入到集合中。

   2：如果形成回路，不符合要求，直接进行下一次操作。

重点类容就这么多，下面给出源程序，程序直接复制后可以运行，有兴趣的朋友也可以用prim算法实现。

#include <stdio.h> 
#include <string.h> 
//常量定义，边点最大数量限制50;
#define MAXE 52

/*
 * Info:最小生成树算法源码(C语言版)
 * @author: zhaoyafei 
 * time: 2015
 */

//结构体定义，储存图的顶点
typedef struct { 
    int from; //边的起始顶点
    int to;   //边的终止顶点
    int cost; //边的权值
}Edge;

int nodeNum;  //顶点数;
int edgeNum;  //边数;
int min_cost; //记录最小生成树(权值)
int judge_temp[MAXE]; //记录判断是否成环
int sort[MAXE][MAXE]; //用来做排序
int edge_temp[MAXE][3]; //用于存储堆排序边点信息

Edge edge[MAXE];        //用于存储边点信息
Edge min_edge[MAXE];    //用于存储最小生成树边点信息

char judge_num_int[MAXE]; 
int inputs = 1;
void HeapSort(int array[MAXE][3],int length);
int judge_num(char from);

//save_point()函数,存储图的点边信息; 
void save_point(){  
    char from;
    char to;
    int cost = 0; 
    int i;  
    for(i = 0;i < edgeNum; i++){
        printf("请输入第 %d 条边！\n",i+1);
        scanf(" %c %c %d",&from,&to,&cost); 

        edge_temp[i][0] = judge_num(from); 
        edge_temp[i][1] = judge_num(to);
        edge_temp[i][2] = cost; 
    }
    //对输入的边和点信息进行堆排序
    HeapSort(edge_temp,edgeNum);
    int j;
    for(j = 0;j < edgeNum; j++){
        edge[j].from = edge_temp[j][0]; 
        edge[j].to = edge_temp[j][1]; 
        edge[j].cost = edge_temp[j][2];   
    }
} 

int judge_num(char str){
    int n1 = 0;
    for(int j1 = 1;j1 < edgeNum * 2; j1++){
        if(str == judge_num_int[j1]){
            n1++;
        }
    }
    if(n1 == 0){
        judge_num_int[inputs] = str;
        inputs++;
    }
    int return_num = 1;
    for(int j2 = 1;j2 < edgeNum * 2; j2++){
        if(str == judge_num_int[j2]){
            return_num = j2;
        }
    }
    return return_num;
}

//用于判断是否形成回路
int judge(int num){  
    if(num == judge_temp[num]){
        return judge_temp[num]; 
    } 
    return judge_temp[num] = judge(judge_temp[num]);  
} 

//判断是否是一棵最小生成树
bool is_judge(){   
    int oneedge = judge(1);
    int i;    
    for(i = 2;i <= nodeNum; i++)  {  
        if(oneedge != judge(i)){  
            return false;  
        }  
    }      
    return true;  
}

//kruskal算法   
void kruskal(){  
    min_cost = 0;//最小生成树 
    //初始化辅助回路判断数组  
    int m;   
    for(m = 0;m < MAXE;m++)  {  
        judge_temp[m] = m;  
    }  
      
    int edge_num = 0;//记录最小生成树的边数   
    int i;
    for(i = 0;i < edgeNum; i++){
        //小于总节点数
        if(edge_num != nodeNum - 1){
            int edge_from = judge(edge[i].from);  
            int edge_to = judge(edge[i].to);
            //如果形成回路则edge_from == edge_to;
            if(edge_from != edge_to){
                //如果没有形成回路，则改变原临时数组中的值  
                judge_temp[edge_from] = edge_to;  
                min_cost += edge[i].cost;  

                //将符合的边加入到存储数组中
                min_edge[edge_num].from = edge[i].from;  
                min_edge[edge_num].to = edge[i].to;  
                min_edge[edge_num].cost = edge[i].cost; 
                
                edge_num++;  
            }   
        }   
    }  
}

//array是待调整的堆数组，i是待调整的数组元素的位置，nlength是数组的长度
//根据数组array构建大顶堆
void HeapAdjust(int array[MAXE][3],int i,int nLength){
   int nChild;
   for(; 2*i + 1 < nLength; i = nChild){  //子结点的位置=2*（父结点位置）+1
        nChild = 2*i + 1;
        //得到子结点中较大的结点
        if(nChild < nLength-1 && array[nChild+1][2] > array[nChild][2]){
            ++nChild;
        }
        //如果较大的子结点大于父结点那么把较大的子结点往上移动，替换它的父结点
        if(array[i][2] < array[nChild][2]){
            int temp_arr2[3];
            temp_arr2[0] = array[i][0];
            temp_arr2[1] = array[i][1];
            temp_arr2[2] = array[i][2];

            array[i][0] = array[nChild][0];
            array[i][1] = array[nChild][1];
            array[i][2] = array[nChild][2];

            array[nChild][0] = temp_arr2[0];
            array[nChild][1] = temp_arr2[1];
            array[nChild][2] = temp_arr2[2];
        }else{
            break;//否则退出循环
        }
    }
}
 
//堆排序算法
void HeapSort(int array[MAXE][3],int length){
    //调整序列的前半部分元素，调整完之后第一个元素是序列的最大的元素
    //length/2-1是最后一个非叶节点，此处"/"为整除
    int j;
    for( j= length/2 - 1; j >= 0; --j){
        HeapAdjust(array,j,length);
    }
    //从最后一个元素开始对序列进行调整，不断的缩小调整的范围直到第一个元素
    int i;
    for(i = length - 1; i > 0; --i){
        //把第一个元素和当前的最后一个元素交换，
        //保证当前的最后一个位置的元素都是在现在的这个序列之中最大的
        int temp_arr1[3]; //构建二维数组的原因：交换后保证数组中其他属性值同时交换
        temp_arr1[0] = array[i][0];
        temp_arr1[1] = array[i][1];
        temp_arr1[2] = array[i][2];

        array[i][0] = array[0][0];
        array[i][1] = array[0][1];
        array[i][2] = array[0][2];

        array[0][0] = temp_arr1[0];
        array[0][1] = temp_arr1[1];
        array[0][2] = temp_arr1[2];

        //不断缩小调整heap的范围，每一次调整完毕保证第一个元素是当前序列的最大值
        HeapAdjust(array,0,i);
    }
}

//输出最小生成树的信息（包括边点和权值） 
void output(){   
    if(is_judge()){  
        printf("最小生成树：\n"); 
        printf("起点 -> 终点   路径长:\n");   
        for(int i = 0;i < nodeNum-1; i++){  
            printf(" %c   ->  %c       %d\n",judge_num_int[min_edge[i].from],judge_num_int[min_edge[i].to],min_edge[i].cost);  
        }  
        printf("min cost is : %d\n",min_cost); 
        printf("*******************************************************************************\n"); 
        printf("请输入 节点数 边数（中间需用空格隔开）:\n");
    }else{
        printf("最小生成树不存在！\n");
        printf("*******************************************************************************\n"); 
        printf("请输入 节点数 边数（中间需用空格隔开）:\n");  
    } 
}

/*
 * 程序主方法;
 * 用于开始程序，介绍程序操作须知;
 */
int main(){ 
    printf("*******************************************************************************\n"); 
    printf("**                         最小生成树（kruskal算法）                        ***\n");
    printf("**  说明：开始程序输入图的总点数和总边数，测试程序目前边点限制最多输入50个  ***\n");
    printf("**        中间用空格隔开。输入边和点信息，需要按格式：开始边 终止边  权值   ***\n");
    printf("**        本次计算结束可以按要求开始下次计算。                              ***\n");
    printf("*******************************************************************************\n");
    printf("请输入 节点数 边数（中间需用空格隔开）:\n");
    while(scanf("%d%d",&nodeNum,&edgeNum) != EOF){ 
        //判断输入的边和点的合法性
        if(nodeNum < 1 || edgeNum < 1){
            printf("输入的数据不合法\n");
            printf("请输入 节点数 边数（中间需用空格隔开）:\n");
            return 0;
        }else if(nodeNum > 50 || edgeNum > 50){
            printf("输入的边或者点不能大于50\n");
            printf("请输入 节点数 边数（中间需用空格隔开）:\n");
            return 0;
        }else{
            printf("请输入 开始节点 终止节点 该边的权值（中间需用空格隔开,回车换行）:\n");
            printf("共 %d 条边\n",edgeNum);
            for(int m = 0;m < MAXE; m++)  {  
                judge_num_int[m] = '-';  
            }  
            inputs = 1;
            save_point(); //存储边点信息          
            kruskal();    //算法执行 
            output();     //输出执行结果
        }  
    } 
    return 0;  
}

运行结果如下：