《Algorithms》第2章：Divide-and-conquer algorithms 学习笔记

1、

2、高斯发现两个复数乘法初看涉及4次实数乘法运算，但实际上可以简化为3次乘法运算。

例：(a+bi)(c+di) = ac - bd + (bc+ad)i ，其中bc+ad = (a+b)(c+d) - ac - bd

所以只需计算(a+b)(c+d) 、 ac 和 bd。

这条原理可以帮助我们实现更好的乘法运算，将n位的x、y分成n/2位长，于是：

运行时间：T(n) = 3T(n/2) + O(n), 解得时间复杂度为n^1.59， 比n^2效率更高。

3、依据以下定理可迅速写出时间复杂度。

4、分治策略的典型应用：二分搜索和归并排序。

二分搜索：T(n) = T(n/2) + O(1) ==> O(logn)

归并排序：T(n) = 2T(n/2) + O(n) ==> O(nlogn)

归并排序代码（C++）：

void mergeSort(int* a, int left, int right)
{
     if(left == right) return;
     int mid = (left + right)/2;
     mergeSort(a,left,mid);
     mergeSort(a,mid+1,right);
     merge(a,left,mid+1,right);
}

void merge(int* a,int left, int mid, int right)
{
     int *tmp = new int[right-left+1];
     int i = left, j = mid, k = 0;
     while(i<mid && j <=right)
     {
          if(a[i] < a[j]) tmp[k++] = a[i++];
          else tmp[k++] = a[j++];
     }
     while(i<mid) tmp[k++] = a[i++];
     while(j<=right) tmp[k++] = a[j++];

     for(i = 0,k = left; k<=right;i++,k++)
          a[k] = tmp[i];
     delete[] tmp;
}

5、排序的下限：涉及两两比较的方法来对一组数进行排序的最优复杂度是O(nlogn)，所以归并排序是最优排序。

当然也存在线性排序（O(n)），此法不涉及两两比较。例：对1,2,3,4,5,8,9,19,20排序，设一个bool型数组a[1..20],初值全为false，顺序扫一遍输入，扫到n，则把a[n]设为true，然后扫一遍a，把值为true的输出，即已排好序。但不适合对大数字排序。

6、寻找中位数的分治思想：在列表S中选取一个数v，然后将列表分为3个部分：比v小的数，比v大的数和等于v的数，分为设为SL，SR，SV，k代表寻找第k小的数，则：

7、矩阵乘法：可以分解成7个n/2规模的子矩阵乘法，所以T(n) = 7T(n/2) + O(n^2), 解得O(n^2.81)