9.18数论
一。唯一分解定理
vector<int> factor(int n){ vector<int> f; for(int i = 2 ; i * i <= n ; i++){ while(n % i == 0){ f.push_back(i); n /= i; } } if(n > 1) f.push_back(n); return f; }
二。调和级数(用来进行质数的筛选)
欧拉筛(现在我知道哪个更优了233333,参见7月份的数论质数筛)
//const int N = 505; bool vis[N + 1]; vector<int> p; void seive(){ for(int i = 2 ; i <= N ; i++){ if(!vis[N + 1]) p.push_back(i); for(int j = 0 ; i * p[j] <= N ; j++){ vis[i * p[j]] = 1; if(i % p[j] == 0) break; } } }
三。积性函数
若f(1) = 1, 设f(n)为定义在正整数上的函数,则对于任意正整数a,b,
若a,b互质
则有f(ab) = f(a) * f(b)
则称f(n)为积性函数
若不要求a,b互质 则称f(n)为完全积性函数
线性筛计算该函数:(我懒得写了!!!!其实是我还没看懂。。。挖个坑吧到时候再补。。。)
https://blog.csdn.net/WuBaizhe/article/details/76711158
这部分打不出来。。。还是写在笔记本上吧Orz。。。
四。扩展欧几里得算法
int gcd(int a,int b,int x, int y){ if(b){ int d = gcd(b, a%b, y, x); y -= a/b*x; return d; } x = 1; y = 0; return a; }
五。预处理逆元
//f是阶乘数组 //g是阶乘的逆元数组 //h是逆元数组 f[0]=1; for(int i=1;i<=n;++i) f[i]=(ll)f[i-1]*i%p; g[n]=pow(f[n],p-2); for(int i=n-1;i>=0;--i) g[i]=(ll)g[i+1]*(i+1)%p; for(int i=1;i<=n;++i) h[i]=(ll)g[i]*f[i-1]%p
欧拉定理
#include<cstdio> #include<algorithm> #include<iostream> #include<cmath> #include<set> #include<cstring> #include<queue> #include<stack> #include<vector> using namespace std; typedef long long ll; int a,b,m,temp,phi,ans = 1; bool flag; int main(){ char c; scanf("%d %d",&a,&m); temp = phi = m; for(int i = 2 ; i <= sqrt(m); i++){ //计算phi if(temp % i == 0){ phi = phi - phi/i; while(temp % i == 0){ temp /= i; } } } if(temp > 1){ phi = phi - phi/temp; } while(!isdigit(c = getchar())); for( ; isdigit(c); c = getchar()){ b = b*10 + c - '0'; if(b >= phi){ flag = true; b %= phi; } } if(flag) b += phi; for(int i = 20 ; i >= 0; i--){ //快速幂 ans = 1ll*ans*ans%m; if(b & (1 << i)){ ans = 1ll*ans*a%m; } } printf("%d\n",ans); return 0; }
知识点:
约数函数
欧拉函数
欧拉定理
费马小定理
线性筛求莫比乌斯函数。欧拉函数
降幂公式
中国剩余定理,扩展CRT