[CSP-S2020] 动物园

[CSP-S2020] 动物园

题目描述

动物园里饲养了很多动物，饲养员小 A 会根据饲养动物的情况，按照《饲养指南》购买不同种类的饲料，并将购买清单发给采购员小 B。

具体而言，动物世界里存在 $2^k$ 种不同的动物，它们被编号为 $0\sim 2^k-1$。动物园里饲养了其中的 $n$ 种，其中第 $i$ 种动物的编号为 $a_i$。

《饲养指南》中共有 $m$ 条要求，第 $j$ 条要求形如“如果动物园中饲养着某种动物，满足其编号的二进制表示的第 $p_j$ 位为 $1$，则必须购买第 $q_j$ 种饲料”。其中饲料共有 $c$ 种，它们从 $1\sim c$ 编号。本题中我们将动物编号的二进制表示视为一个 $k$ 位 01 串，第 $0$ 位是最低位，第 $k-1$ 位是最高位。

根据《饲养指南》，小 A 将会制定饲料清单交给小 B，由小 B 购买饲料。清单形如一个 $c$ 位 $01$ 串，第 $i$ 位为 $1$ 时，表示需要购买第 $i$ 种饲料；第 $i$ 位为 $0$ 时，表示不需要购买第 $i$ 种饲料。 实际上根据购买到的饲料，动物园可能可以饲养更多的动物。更具体地，如果将当前未被饲养的编号为 $x$ 的动物加入动物园饲养后，饲料清单没有变化，那么我们认为动物园当前还能饲养编号为 $x$ 的动物。

现在小 B 想请你帮忙算算，动物园目前还能饲养多少种动物。

输入格式

第一行包含四个以空格分隔的整数 $n,m,c,k$。
分别表示动物园中动物数量、《饲养指南》要求数、饲料种数与动物编号的二进制表示位数。
第二行 $n$ 个以空格分隔的整数，其中第 $i$ 个整数表示 $a_i$。
接下来 $m$ 行，每行两个整数 $p_i,q_i$ 表示一条要求。
数据保证所有 $a_i$ 互不相同，所有的 $q_i$ 互不相同。

输出格式

仅一行一个整数表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

3 3 5 4
1 4 6
0 3
2 4
2 5

样例输出 #1

13

样例 #2

样例输入 #2

2 2 4 3
1 2
1 3
2 4

样例输出 #2

2

样例 #3

样例输入 #3

见附件中的 zoo/zoo3.in

样例输出 #3

见附件中的 zoo/zoo3.ans

提示

【样例 #1 解释】

动物园里饲养了编号为 $1,4,6$ 的三种动物，《饲养指南》上的三条要求为：

1. 若饲养的某种动物的编号的第 $0$ 个二进制位为 $1$，则需购买第 $3$ 种饲料。
2. 若饲养的某种动物的编号的第 $2$ 个二进制位为 $1$，则需购买第 $4$ 种饲料。
3. 若饲养的某种动物的编号的第 $2$ 个二进制位为 $1$，则需购买第 $5$ 种饲料。

饲料购买情况为：

1. 编号为 $1$ 的动物的第 $0$ 个二进制位为 $1$，因此需要购买第 $3$ 种饲料；
2. 编号为 $4,6$ 的动物的第 $2$ 个二进制位为 $1$，因此需要购买第 $4,5$ 种饲料。

由于在当前动物园中加入一种编号为 $0,2,3,5,7,8,\dots ,15$ 之一的动物，购物清单都不会改变，因此答案为 $13$。

【数据范围】

对于 $20\mathrm{\%}$ 的数据，$k\le n\le 5$，$m\le 10$，$c\le 10$，所有的 $p_i$ 互不相同。
对于 $40\mathrm{\%}$ 的数据，$n\le 15$，$k\le 20$，$m\le 20$，$c\le 20$。
对于 $60\mathrm{\%}$ 的数据，$n\le 30$，$k\le 30$，$m\le 1000$。
对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据，$0\le n,m\le {10}^6$，$0\le k\le 64$，$1\le c\le {10}^8$。

解答

第一步我们要统计n个数中有哪些位是有一的，第二步我们要分别统计$2^k$-n数中每个数是否满足题意。

取出每个位的数是log(n),第一步是nlogn，第二步如果和第一步一样算会超时。

考虑第一步会重复大量运算，这里可以在第一步把所有数做或运算，这样就是n+logn,

但重点依然是第二步怎么处理，怎样算出最大能容纳新数的个数呢？

暴力的算法是提出每一个数的每一个位两两比较，这样有$2^k$-n个数

改变思维，我们拿位做比较，我们取出在第一步中不是1的位，那么撑死是64个，我们把每个数都拿出来：num&(1<<k)==1？

时间复杂度是$2^k$，还是不行。

我们思考考虑位的做法。

样例输入 #1

3 3 5 4
1 4 6
0 3
2 4
2 5

样例输出 #1

13

10000

110 001 100

需要考虑的位有0,2

或：111

0,2,都有，满足全部条件

最高要考虑的位为第二位。所以3,4位没关系。

2 *2 * 2 * 2 - 3 = 13

即每个位的可能性相乘-原来有的数

样例输入 #2

2 2 4 3
1 2
1 3
2 4

样例输出 #2

样例二手摸：

8
1 2
1 3
2 4
0 1 2 3 4 5 6 7
0 3，共两种

01 10 ——> 11

需要考虑的位有1,2

所以第二位必须是0

1 * 2 * 2-2=2

那么上代码吧，懒得解释了：

时间复杂度极低，稳过懒得算了。

代码,60分代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ull unsigned long long 
#define rt register int
int n,m,c,k,useless;
ull a[1000005];
int b[1000005];
int book[100000];
int Real[100000];
int main()
{
	scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&c,&k);
	if(n==0&&m==0&&k==64){printf("18446744073709551616");return 0;}
	for(rt i=1;i<=n;++i)scanf("%lld",&a[i]);
	for(rt i=1;i<=m;++i)
	{
		scanf("%d",&b[i]);
		scanf("%d",&useless);
	}
	ull endnum=0;
	for(rt i=1;i<=n;++i)endnum|=a[i];
	int cnt=0;
	while(endnum>0){
		if(endnum&1)Real[cnt]=1;
		endnum>>=1;
		++cnt;
	}
	for(rt i=0;i<=10000;++i)book[i]=2;
	for(rt i=1;i<=m;++i)if(!Real[b[i]])book[b[i]]=1;
	unsigned long long ans=1;
	for(rt i=k-1;i>=0;i--)ans*=book[i];
	ans-=n;
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}