[CSP-S2020] 动物园
[CSP-S2020] 动物园
题目描述
动物园里饲养了很多动物，饲养员小 A 会根据饲养动物的情况，按照《饲养指南》购买不同种类的饲料，并将购买清单发给采购员小 B。
具体而言，动物世界里存在 \(2^k\) 种不同的动物，它们被编号为 \(0 \sim 2^k - 1\)。动物园里饲养了其中的 \(n\) 种，其中第 \(i\) 种动物的编号为 \(a_i\)。
《饲养指南》中共有 \(m\) 条要求，第 \(j\) 条要求形如“如果动物园中饲养着某种动物，满足其编号的二进制表示的第 \(p_j\) 位为 \(1\)，则必须购买第 \(q_j\) 种饲料”。其中饲料共有 \(c\) 种，它们从 \(1 \sim c\) 编号。本题中我们将动物编号的二进制表示视为一个 \(k\) 位 01 串，第 \(0\) 位是最低位，第 \(k - 1\) 位是最高位。
根据《饲养指南》，小 A 将会制定饲料清单交给小 B，由小 B 购买饲料。清单形如一个 \(c\) 位 \(01\) 串，第 \(i\) 位为 \(1\) 时，表示需要购买第 \(i\) 种饲料；第 \(i\) 位为 \(0\) 时，表示不需要购买第 \(i\) 种饲料。 实际上根据购买到的饲料，动物园可能可以饲养更多的动物。更具体地，如果将当前未被饲养的编号为 \(x\) 的动物加入动物园饲养后，饲料清单没有变化，那么我们认为动物园当前还能饲养编号为 \(x\) 的动物。
现在小 B 想请你帮忙算算，动物园目前还能饲养多少种动物。
输入格式
第一行包含四个以空格分隔的整数 \(n, m, c, k\)。
分别表示动物园中动物数量、《饲养指南》要求数、饲料种数与动物编号的二进制表示位数。
第二行 \(n\) 个以空格分隔的整数，其中第 \(i\) 个整数表示 \(a_i\)。
接下来 \(m\) 行，每行两个整数 \(p_i, q_i\) 表示一条要求。
数据保证所有 \(a_i\) 互不相同，所有的 \(q_i\) 互不相同。
输出格式
仅一行一个整数表示答案。
样例 #1
样例输入 #1
3 3 5 4
1 4 6
0 3
2 4
2 5
样例输出 #1
13
样例 #2
样例输入 #2
2 2 4 3
1 2
1 3
2 4
样例输出 #2
2
样例 #3
样例输入 #3
见附件中的 zoo/zoo3.in
样例输出 #3
见附件中的 zoo/zoo3.ans
提示
【样例 #1 解释】
动物园里饲养了编号为 \(1, 4, 6\) 的三种动物，《饲养指南》上的三条要求为：
- 若饲养的某种动物的编号的第 \(0\) 个二进制位为 \(1\)，则需购买第 \(3\) 种饲料。
- 若饲养的某种动物的编号的第 \(2\) 个二进制位为 \(1\)，则需购买第 \(4\) 种饲料。
- 若饲养的某种动物的编号的第 \(2\) 个二进制位为 \(1\)，则需购买第 \(5\) 种饲料。
饲料购买情况为：
- 编号为 \(1\) 的动物的第 \(0\) 个二进制位为 \(1\)，因此需要购买第 \(3\) 种饲料；
- 编号为 \(4, 6\) 的动物的第 \(2\) 个二进制位为 \(1\)，因此需要购买第 \(4, 5\) 种饲料。
由于在当前动物园中加入一种编号为 \(0, 2, 3, 5, 7, 8, \ldots , 15\) 之一的动物，购物清单都不会改变，因此答案为 \(13\)。
【数据范围】
对于 \(20 \%\) 的数据，\(k \le n \le 5\)，\(m \le 10\)，\(c \le 10\)，所有的 \(p_i\) 互不相同。
对于 \(40 \%\) 的数据，\(n \le 15\)，\(k \le 20\)，\(m \le 20\)，\(c \le 20\)。
对于 \(60 \%\) 的数据，\(n \le 30\)，\(k \le 30\)，\(m \le 1000\)。
对于 \(100 \%\) 的数据，\(0 \le n, m \le 10^6\)，\(0 \le k \le 64\)，\(1 \le c \le 10^8\)。
解答
第一步我们要统计n个数中有哪些位是有一的，第二步我们要分别统计\(2^k\)-n数中每个数是否满足题意。
取出每个位的数是log(n),第一步是nlogn，第二步如果和第一步一样算会超时。
考虑第一步会重复大量运算，这里可以在第一步把所有数做或运算，这样就是n+logn,
但重点依然是第二步怎么处理，怎样算出最大能容纳新数的个数呢？
暴力的算法是提出每一个数的每一个位两两比较，这样有\(2^k\)-n个数
改变思维，我们拿位做比较，我们取出在第一步中不是1的位，那么撑死是64个，我们把每个数都拿出来：num&(1<<k)==1？
时间复杂度是\(2^k\)，还是不行。
我们思考考虑位的做法。
样例输入 #1
3 3 5 4
1 4 6
0 3
2 4
2 5
样例输出 #1
13
10000
110 001 100
需要考虑的位有0,2
或：111
0,2,都有，满足全部条件
最高要考虑的位为第二位。所以3,4位没关系。
2 *2 * 2 * 2 - 3 = 13
即每个位的可能性相乘-原来有的数
样例输入 #2
2 2 4 3
1 2
1 3
2 4
样例输出 #2
样例二手摸：
8
1 2
1 3
2 4
0 1 2 3 4 5 6 7
0 3，共两种
01 10 ——> 11
需要考虑的位有1,2
所以第二位必须是0
1 * 2 * 2-2=2
那么上代码吧，懒得解释了：
时间复杂度极低，稳过懒得算了。
代码,60分代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ull unsigned long long
#define rt register int
int n,m,c,k,useless;
ull a[1000005];
int b[1000005];
int book[100000];
int Real[100000];
int main()
{
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&c,&k);
if(n==0&&m==0&&k==64){printf("18446744073709551616");return 0;}
for(rt i=1;i<=n;++i)scanf("%lld",&a[i]);
for(rt i=1;i<=m;++i)
{
scanf("%d",&b[i]);
scanf("%d",&useless);
}
ull endnum=0;
for(rt i=1;i<=n;++i)endnum|=a[i];
int cnt=0;
while(endnum>0){
if(endnum&1)Real[cnt]=1;
endnum>>=1;
++cnt;
}
for(rt i=0;i<=10000;++i)book[i]=2;
for(rt i=1;i<=m;++i)if(!Real[b[i]])book[b[i]]=1;
unsigned long long ans=1;
for(rt i=k-1;i>=0;i--)ans*=book[i];
ans-=n;
printf("%lld",ans);
return 0;
}
