最优贸易（算法竞赛进阶指南）
C 国有 n 个大城市和 m 条道路，每条道路连接这 n 个城市中的某两个城市。
任意两个城市之间最多只有一条道路直接相连。
这 m 条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为 1 条。
C 国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。
但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。
商人阿龙来到 C 国旅游。
当他得知“同一种商品在不同城市的价格可能会不同”这一信息之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚一点旅费。
设 C 国 n 个城市的标号从 1∼n，阿龙决定从 1 号城市出发，并最终在 n 号城市结束自己的旅行。
在旅游的过程中，任何城市可以被重复经过多次，但不要求经过所有 n 个城市。
阿龙通过这样的贸易方式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品——水晶球，并在之后经过的另一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。
因为阿龙主要是来 C 国旅游，他决定这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。
现在给出 n 个城市的水晶球价格，m 条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号以及该条道路的通行情况）。
请你告诉阿龙，他最多能赚取多少旅费。
注意：本题数据有加强。
输入格式
第一行包含 2 个正整数 n 和 m，中间用一个空格隔开，分别表示城市的数目和道路的数目。
第二行 n 个正整数，每两个整数之间用一个空格隔开，按标号顺序分别表示这 n 个城市的商品价格。
接下来 m 行，每行有 3 个正整数，x，y，z，每两个整数之间用一个空格隔开。
如果 z=1，表示这条道路是城市 x 到城市 y 之间的单向道路；如果 z=2，表示这条道路为城市 x 和城市 y 之间的双向道路。
输出格式
一个整数，表示答案。
数据范围
1≤n≤100000,
1≤m≤500000,
1≤各城市水晶球价格≤100
输入样例：
5 5
4 3 5 6 1
1 2 1
1 4 1
2 3 2
3 5 1
4 5 2
输出样例：
5
这道题的大意就是要我们在1-n中找到最大值和最小值，差即为答案。
第一：这道题是存在环的，转态转移方程行不通。我个人想了个例子
比如在这张图中，我们求什么时候入价最小，d[1] = 9，d[2] = min(5,9) = 5,d[3] = min(5,4) = 4,d[1] = min(4,9) = 4。与开始矛盾，那么d[2] = min(4,5) = 4。事实上，三个点是有区别的。
第二：dijkstra不大行。
dijkstra需要一个最小值，然后用三角不等式收敛，但在本题中
如果当前 dmin[i] 最小的点是 5，那么有可能存在边 5-> 6, 6-> 7, 7-> 5，假设当前 dmin[5] = 10，则有可能存在 6 的价格是11， 但 7 的价格是3，那么 dmin[5] 的值就应该被更新成3，因此当前最小值也不一定是最终最小值，所以dijkstra算法并不适用，我们只能采用 spfa 算法。
从 1 走到 i 的过程中，买入水晶球的最低价格 dmin[i]；
从 i走到 n 的过程中，卖出水晶球的最高价格 dmax[i]；
1. 为什么要这么想，把i想成一个节点
因为阿龙主要是来 C 国旅游，他决定这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。
所以我不可能先卖再买。
dmin[],和dmax[]是解题的关键。是题目条件的变形。那么不难想到，对于每一个中间的节点，我们都要算出dmax[i] - dmin[i]取最大值即为答案。
代码来自：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010, M = 2000010;
int n, m;
int price[N];
int h[N], rh[N], e[M], ne[M], idx;
int dmin[N], dmax[N];
bool st[N];
void add(int *h, int a, int b)
{
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}
void spfa(int *d, int start, int *h, bool flag)//这里算最大和最小代码相似，这样可以减少码量
{
queue<int> q;
memset(st, 0, sizeof st);
if (flag) memset(d, 0x3f, sizeof dmin);
q.push(start);
st[start] = true;
d[start] = price[start];
while (q.size())
{
int t = q.front();
q.pop();
st[t] = false;
for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (flag && d[j] > min(d[t], price[j]) || !flag && d[j] < max(d[t], price[j]))
{
if (flag) d[j] = min(d[t], price[j]);
else d[j] = max(d[t], price[j]);
if (!st[j])
{
st[j] = true;
q.push(j);
}
}
}
}
}
/*
上面是常规的spfa的模板，我们先把每一个节点的dmin和dmax算出来
*/
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
memset(h, -1, sizeof h);
memset(rh, -1, sizeof rh);
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &price[i]);
while (m -- )
{
int a, b, c;
scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
add(h, a, b), add(rh, b, a);
if (c == 2) add(h, b, a), add(rh, a, b);
}
spfa(dmin, 1, h, true);
spfa(dmax, n, rh, false);
int res = 0;
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) res = max(res, dmax[i] - dmin[i]);
printf("%d\n", res);
return 0;
}
我们注意到，在代码中，求最大值是n - i 而不是i - n。因为我们不知道从i能否到达n。但我们知道我们一定要到n。于是把n看成起点，就从已知的起点到未知的终点转化成从已知的终点到未知的起点。
详细解释来自：AcWing 341. 最优贸易 - AcWing
如下图所示，1号点能到达3号点，然而3号点却不能走到4号点，若正向从i号点到n号点求出最大价格，以3号点为分界点时，求得的最大差价格是dmax[3] - dmin[3] = 5，然而3号点却到达不了4号点，图中答案是dmax[4] - dmin[4] = 2，因此此做法不可行
因此，从1号点能走到i号点，从n号点走到i号点，则表示从1号点到i号点再到n号点过程中不会发生间断
总结：不必再把spfa看成是求一个点到固定终点的dist，我们通过spfa可以求从任一点到其他点的大部分属性。并且要注意题目的条件，学会反向图。
