[NOIP2013 提高组] 花匠

[NOIP2013 提高组] 花匠

题目描述

花匠栋栋种了一排花，每株花都有自己的高度。花儿越长越大，也越来越挤。栋栋决定把这排中的一部分花移走，将剩下的留在原地，使得剩下的花能有空间长大，同时，栋栋希望剩下的花排列得比较别致。

具体而言，栋栋的花的高度可以看成一列整数$h_1,h_2,...,h_n$。设当一部分花被移走后，剩下的花的高度依次为$g_1,g_2,...,g_m$，则栋栋希望下面两个条件中至少有一个满足：

条件 $A$：对于所有$g_{2i}>g_{2i-1},g_{2i}>g_{2i+1}$

条件 $B$：对于所有$g_{2i}<g_{2i-1},g_{2i}<g_{2i+1}$

注意上面两个条件在$m=1$时同时满足，当$m>1$时最多有一个能满足。

请问，栋栋最多能将多少株花留在原地。

输入格式

第一行包含一个整数$n$，表示开始时花的株数。

第二行包含$n$个整数，依次为$h_1,h_2,...,h_n$,表示每株花的高度。

输出格式

一个整数$m$，表示最多能留在原地的花的株数。

样例 #1

样例输入 #1

5
5 3 2 1 2

样例输出 #1

3

提示

【输入输出样例说明】

有多种方法可以正好保留 $3$ 株花，例如，留下第 $1$、$4$、$5$ 株，高度分别为 $5$、$1$、$2$，满足条件 B。

【数据范围】

对于 $20\%$的数据，$n\le 10$；

对于 $30\%$的数据，$n\le 25$；

对于 $70\%$的数据，$n\le 1000,0\le h_i\le 1000$；

对于 $100\%$的数据，$1\le n\le 100,000,0\le h_i\le 1,000,000$，所有的$h_i $随机生成，所有随机数服从某区间内的均匀分布。

通过模拟题意可得，这道题的答案与波峰或波谷的个数有关，这是最重要的。

求波峰或波谷个数的套路

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,h[1000005],ans=1;bool con;
int main()
{
    cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>h[i];
    if(h[2]>=h[1]) con=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(con==0&&i==n) {ans++;break;}
        if(con==1) if(h[i+1]<h[i]){ans++;con=0;continue;}
        if(con==0) if(h[i+1]>h[i]) {ans++;con=1;continue;}
    }
    cout<<ans; 
}

这道题我们可以联想到最长不下降子序列，因为两者都是求一个满足条件的最长的序列。

本人在想这道题的时候想用区间DP，但现在想想还是没有仔细模拟样例，如果是区间DP的话，f[i +1] [j]肯定包含在f[i] [j]里面中，只有j需要变，不需要区间。在比赛过程中，我知道自己打错了，但也发现过来波峰即时波谷，过了波谷即是波峰，所以A,B是掺杂一体的，而不是互斥的。

设f[i] [0 / 1],i表示右端点，0，1表示数据变化的趋势。

if(a[i] > a[i - 1])
f[i][1] = f[i - 1][0] + 1.
else f[i][0] = f[i - 1][0]
if(a[i] < a[i - 1])
f[i][0] = f[i - 1][1] + 1
else f[i][0] = f[i - 1][0]

if(a[i] > a[i - 1])
{
	f[i][1] = max(f[i - 1][1],f[i - 1][0] + 1);
	f[i][0] = f[i - 1][0];
}else{
	f[i][0] = max(f[i - 1][0],f[i - 1][1] + 1);
	f[i][1] = f[i - 1][1];
}
#这里是错误的，因为没有包含相等的情况#  

正解：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 5;
int n,a[N],ans;
int f[N][2];

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	
	for(int i = 1;i <= n;i ++)
		scanf("%d",&a[i]);
	
	f[1][0] = f[1][1] = 1;
	for(int i = 2;i <= n;i ++)
	{
		if(a[i] > a[i - 1])
			f[i][1] = max(f[i - 1][1],f[i - 1][0] + 1);
		else 	f[i][1] = f[i - 1][1];
		if(a[i] < a[i - 1])
			f[i][0] = max(f[i - 1][0],f[i - 1][1] + 1);
		else 	f[i][0] = f[i - 1][0];
		
	}
	
	printf("%d",max(f[n][0],f[n][1]));
	
	return 0;
}