博弈论基础

博弈论

NIM游戏的结论证明是通过定义证的很难直观感受，所以这种题一般都靠构造，所以怎么可能自己想出来啊！

例一

给定一个n个点的有向无环图，节点从0到n-1编号。
游戏由若干轮组成，对于每一轮。
一开始，有k个棋子在图上的一些节点上。Alice和Bob会轮流选择一个棋子，Alice先操作，将它沿着一条出边移动。如果无法移动，则当前操作的人输。
假设双方都绝顶聪明，问Alice是输还是赢。
个人觉得很妙的一道题

第一步

定义一个SG函数，表示一个点最小不能到达的点。
假设5能到1 2 3 7，SG（5）=4。

第二步

如何求一个SG

int SG(int u)
{
	if (~sg[u]) return sg[u];        // 如果当前 sg[u] 不是 -1，那么说明该点的 SG 函数值已经被计算过了，直接返回
	set<int> S;                      // 否则要建一个集合 S，存该点能到的所有点的 SG 函数值
	for (int i = h[u]; i; i = ne[i]) // 遍历点 u 能到达的所有点
		S.insert(SG(e[i]));          // 计算该点的 SG 函数值，并放入集合 S
	for (int i = 0; ; i ++ )         // 从 0 开始枚举所有非负整数
		if (!S.count(i))             // 如果该值没有在 S 中出现过
	{
		sg[u] = i;               // 那么将该值记录在 sg[u] 中并返回
		return i;
	}
}

第三步

如何用SG
仿照NIM游戏的结论，我们可以把这道题类比吗？
它能否变成N堆石子任意取几颗石子的样子？
我们把SG函数看成每堆石子的个数。
假设有这么一个图
6（点数） 8（边数） 4（棋子数）
2 1（有向图）
2 4
1 4
1 5
4 5
1 3
3 5
3 6
1 2 4 6（棋子位置）
自己画图！
sg1=2
sg2=0
sg3=1
sg4=1
sg5=0
sg6=0
如果不会算的话建议百度，这边不想写太多

分两种情况把一个SG值更大的点推向一个SG值更小的点（如果是必胜态就这么做，必败态可能要垂死挣扎），那么假设这个SG是5，它可以到1 2 3 4中任意一个点，就好像NIM。
第二种情况把一个SG值小的点推向更大的点，假设把1->2，那么肯定存在另一个类似2->1的操作给对面用，对称博弈。你可以试着画一下，不可能存在只有1->2而没有2->1的情况。因为根据SG函数，那个2肯定能到1。（这里自认是SG定义最妙的地方）

那么证毕，这个题直接套NIM板子。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <set>

using namespace std;

const int N = 2005;
const int M = 6005;

int n, m, k;
int h[N], e[M], ne[M], idx;          // 邻接表存图
int sg[N];                           // 存所有被计算过的点的 SG 函数值
int res;

inline void add(int u, int v)        // 加边函数。从点 u 向点 v 连一条有向边
{
	e[ ++ idx] = v;
	ne[idx] = h[u];
	h[u] = idx;
}

int SG(int u)
{
	if (~sg[u]) return sg[u];        // 如果当前 sg[u] 不是 -1，那么说明该点的 SG 函数值已经被计算过了，直接返回
	set<int> S;                      // 否则要建一个集合 S，存该点能到的所有点的 SG 函数值
	for (int i = h[u]; i; i = ne[i]) // 遍历点 u 能到达的所有点
		S.insert(SG(e[i]));          // 计算该点的 SG 函数值，并放入集合 S
	for (int i = 0; ; i ++ )         // 从 0 开始枚举所有非负整数
		if (!S.count(i))             // 如果该值没有在 S 中出现过
	{
		sg[u] = i;               // 那么将该值记录在 sg[u] 中并返回
		return i;
	}
}

int main()
{
	scanf("%d %d %d", &n, &m, &k);   // 读入题目中 N, M, K
	for (int i = 0; i < m; i ++ )    // 读入 M 条边并建图
	{
		int u, v;
		scanf("%d %d", &u, &v);
		add(u, v);
	}
	memset(sg, -1, sizeof sg);       // 先将 sg 数组中的所有值初始化成 -1，表示没有记录过
	while (k -- )                    // 读入 K 个棋子所在的点
	{
		int u;
		scanf("%d", &u);
		res ^= SG(u);
	}
	for(int i = 1;i<=n;++i)printf("sg:%d\n",sg[i]);
	if (res) puts("win");            // 如果 res 不为 0，那么输出 win
	else    puts("lose");            // 否则输出 lose
	return 0;
}