[ARC164D]1D Coulomb 题解

[ARC164D]1D Coulomb 题解

题意

在长为 \(2N\) 的数轴上放有 \(2N\) 个小球，第 \(i\) 个小球在坐标 \(i\) 的位置。 \(2N\) 个小球中有 \(N\) 个小球带正电，有 \(N\) 个小球带负点。记第 \(i\) 个小球带 \(a_i\) 单位电荷（\(a_i\in\{1,-1\}\)），小球之间受到力的作用，第 \(i\) 个小球受到的力的大小 \(F_i=(\sum_{j=1}^{i-1}a_j-\sum_{j=i+1}^{2N}a_j)\times a_i\)。小球会进行运动，运动规则如下：

1. 当 \(F_i>0\) 时第 \(i\) 个小球以每单位时间 \(1\) 单位长度的速度匀速向右运动。
2. 当 \(F_i<0\) 时第 \(i\) 个小球以每单位时间 \(1\) 单位长度的速度匀速向左运动。
3. 当 \(i\) 号球和 \(j\) 号球在某一时刻出现在同一位置并且 \(a_i\not=a_j\) 时 \(i\) 号球和 \(j\) 号球同时消失，记第 \(i\) 个球在坐标 \(x_i\) 处消失。

分析可知不会有三个小球同时出现在同一个位置，并且最终所有小球均会消失。

现在给出一个长为 \(2N\) 的字符串，当第 \(i\) 个字符为 \(\texttt{+}\) 时表示 \(a_i=1\)，第 \(i\) 个字符为 \(\texttt{-}\) 时 \(a_i=-1\)，第 \(i\) 个字符为 \(\texttt{?}\) 时表示 \(a_i\) 不确定。对于所有合法的可能的小球的电性情况求出 \(\sum_{i=1}^{2N}\left |i-x_i\right |\) 的值的和，答案对 \(998244353\) 取模。

\(N\le 3000\)。

题解

先考虑没有问号时如何统计答案：

由于两个小球 \(i,j\) 当且仅当在 \(a_i+a_j=0\) 时相撞才会消失，所以小球的消失对于其他小球受力的大小无影响，也就是说小球运动的方向在消失之前不变。

进一步分析可以发现，小球之间的相撞消失类似于括号匹配，例如：

++----+-+-++

这个序列可以分成两段恰好电荷和为 \(0\) 的子段：

++--,--+-+-++

对于第一段我们将 \(\texttt{+},\texttt{-}\) 分别视作 \(\texttt{(},\texttt{)}\)。对于第二段我们将 \(\texttt{+},\texttt{-}\) 分别视作 \(\texttt{)},\texttt{(}\)。然后就可以匹配了，具体地：\(1-4,2-3,5-12,6-7,8-9,10-11\) 分别进行匹配。

形式化地来说：我们首先将整个序列划分成若干个不相交的极小的电荷和为 \(0\) 的子段，然后对于每一个子段 \(s_{l\cdots r}\)，将 \(s_l\) 这种字符视为 \(\texttt{(}\)，另一种字符（即 \(s_r\) 这种字符）视为 \(\texttt{)}\)，然后进行括号匹配，匹配上的两个小球相撞消失。那么答案就是所有配对的小球的坐标差的和。

分析完了相撞的性质，考虑怎样统计答案更方便。直接统计不好做。所以套路的改变求和方式，我们考虑 \([i,i+1]\) 这个单位长度被多少对配对的小球经过，记为 \(f_i\)。换句话说 \(f_i\) 就是前 \(i\) 个球与后 \(n-i\) 个球配对的对数，观察可以发现：

\[f_i=\left|\sum_{i=1}^{i}a_i\right| \]

那么答案就是 \(\sum_{i=1}^{2N-1}\left|\sum_{j=1}^{i}a_i\right|\)。

以上是对于没有 \(\texttt{?}\) 的情况的答案的计算，下面说一下有 \(\texttt{?}\) 了怎么做。

我们设 \(g_{i,j}\) 表示 \(\sum_{k=1}^{i}a_k=j\) 的方案数，那么答案就是：

\[\sum_{i=1}^{2N-1}\sum_{j=-N}^{N}g_{i,j}\times \left|j\right| \]

而 \(g_{i,j}\) 可以组合数计算，具体地：

当前 \(i\) 个字符中有 \(x\) 个 \(\texttt{+}\)，\(y\) 个 \(\texttt{-}\)，\(z\) 个 \(\texttt{?}\)。整个字符串中有 \(X\) 个 \(\texttt{+}\)，\(Y\) 个 \(\texttt{-}\)，\(Z\) 个 \(\texttt{?}\)，那么就有：

\[g_{i,(x+k)-(y+z-k)}=\binom{z}{k}\binom{Z}{N-X-k} \]

其中 \(k\) 是枚举 \(z\) 个 \(\texttt{?}\) 中有 \(k\) 个 \(\texttt{?}\) 电荷量为正。

本题到这里就结束了，复杂度 \(\mathcal{O}(n^2)\)，代码很短。