[ARC164D]1D Coulomb 题解

[ARC164D]1D Coulomb 题解

题意

在长为 $2N$ 的数轴上放有 $2N$ 个小球，第 $i$ 个小球在坐标 $i$ 的位置。 $2N$ 个小球中有 $N$ 个小球带正电，有 $N$ 个小球带负点。记第 $i$ 个小球带 $a_i$ 单位电荷（$a_i\in\{1,-1\}$），小球之间受到力的作用，第 $i$ 个小球受到的力的大小 $F_i=(\sum_{j=1}^{i-1}a_j-\sum_{j=i+1}^{2N}a_j)\times a_i$。小球会进行运动，运动规则如下：

1. 当 $F_i>0$ 时第 $i$ 个小球以每单位时间 $1$ 单位长度的速度匀速向右运动。
2. 当 $F_i<0$ 时第 $i$ 个小球以每单位时间 $1$ 单位长度的速度匀速向左运动。
3. 当 $i$ 号球和 $j$ 号球在某一时刻出现在同一位置并且 $a_i\not=a_j$ 时 $i$ 号球和 $j$ 号球同时消失，记第 $i$ 个球在坐标 $x_i$ 处消失。

分析可知不会有三个小球同时出现在同一个位置，并且最终所有小球均会消失。

现在给出一个长为 $2N$ 的字符串，当第 $i$ 个字符为 $\texttt{+}$ 时表示 $a_i=1$，第 $i$ 个字符为 $\texttt{-}$ 时 $a_i=-1$，第 $i$ 个字符为 $\texttt{?}$ 时表示 $a_i$ 不确定。对于所有合法的可能的小球的电性情况求出 $\sum_{i=1}^{2N}\left |i-x_i\right |$ 的值的和，答案对 $998244353$ 取模。

$N\le 3000$。

题解

先考虑没有问号时如何统计答案：

由于两个小球 $i,j$ 当且仅当在 $a_i+a_j=0$ 时相撞才会消失，所以小球的消失对于其他小球受力的大小无影响，也就是说小球运动的方向在消失之前不变。

进一步分析可以发现，小球之间的相撞消失类似于括号匹配，例如：

++----+-+-++

这个序列可以分成两段恰好电荷和为 $0$ 的子段：

++--,--+-+-++

对于第一段我们将 $\texttt{+},\texttt{-}$ 分别视作 $\texttt{(},\texttt{)}$。对于第二段我们将 $\texttt{+},\texttt{-}$ 分别视作 $\texttt{)},\texttt{(}$。然后就可以匹配了，具体地：$1-4,2-3,5-12,6-7,8-9,10-11$ 分别进行匹配。

形式化地来说：我们首先将整个序列划分成若干个不相交的极小的电荷和为 $0$ 的子段，然后对于每一个子段 $s_{l\cdots r}$，将 $s_l$ 这种字符视为 $\texttt{(}$，另一种字符（即 $s_r$ 这种字符）视为 $\texttt{)}$，然后进行括号匹配，匹配上的两个小球相撞消失。那么答案就是所有配对的小球的坐标差的和。

分析完了相撞的性质，考虑怎样统计答案更方便。直接统计不好做。所以套路的改变求和方式，我们考虑 $[i,i+1]$ 这个单位长度被多少对配对的小球经过，记为 $f_i$。换句话说 $f_i$ 就是前 $i$ 个球与后 $n-i$ 个球配对的对数，观察可以发现：

$$f_i=\left|\sum_{i=1}^{i}a_i\right|$$

那么答案就是 $\sum_{i=1}^{2N-1}\left|\sum_{j=1}^{i}a_i\right|$。

以上是对于没有 $\texttt{?}$ 的情况的答案的计算，下面说一下有 $\texttt{?}$ 了怎么做。

我们设 $g_{i,j}$ 表示 $\sum_{k=1}^{i}a_k=j$ 的方案数，那么答案就是：

$$\sum_{i=1}^{2N-1}\sum_{j=-N}^{N}g_{i,j}\times \left|j\right|$$

而 $g_{i,j}$ 可以组合数计算，具体地：

当前 $i$ 个字符中有 $x$ 个 $\texttt{+}$，$y$ 个 $\texttt{-}$，$z$ 个 $\texttt{?}$。整个字符串中有 $X$ 个 $\texttt{+}$，$Y$ 个 $\texttt{-}$，$Z$ 个 $\texttt{?}$，那么就有：

$$g_{i,(x+k)-(y+z-k)}=\binom{z}{k}\binom{Z}{N-X-k}$$

其中 $k$ 是枚举 $z$ 个 $\texttt{?}$ 中有 $k$ 个 $\texttt{?}$ 电荷量为正。

本题到这里就结束了，复杂度 $\mathcal{O}(n^2)$，代码很短。