POJ 3744 Scout YYF I(矩阵快速幂优化+概率dp)
http://poj.org/problem?id=3744
题意:
现在有个屌丝要穿越一个雷区,雷分布在一条直线上,但是分布的范围很大,现在这个屌丝从1出发,p的概率往前走1步,1-p的概率往前走2步,求最后顺利通过雷区的概率。
思路:
首先很容易能得到一个递推式:$dp[i]=p*dp[i-1]+(1-p)*dp[i-2]$。但是直接递推肯定不行,然后我们发现这个很容易构造出矩阵来,但是这样还是太慢。
接下来讲一下如何优化,对于第i个雷,它的坐标为x[i],那么那顺利通过它的话,只能在x[i]-1的位置走2步。
观察上图,可以发现每次起点就相当于是雷后面的一个格子,这样的话我们就可以分块处理(有多少雷就分多少块),先计算出起点到雷的概率y,那么1-y就是顺利通过这块的概率。最后乘法原理乘起来即可。
1 #include<iostream> 2 #include<algorithm> 3 #include<cstring> 4 #include<cstdio> 5 #include<vector> 6 #include<stack> 7 #include<queue> 8 #include<cmath> 9 #include<map> 10 #include<set> 11 using namespace std; 12 typedef long long ll; 13 const int INF = 0x3f3f3f3f; 14 const int maxn=100000+10; 15 16 int n; 17 double p, ans; 18 int x[15]; 19 20 struct Matrix 21 { 22 double mat[2][2]; 23 Matrix() 24 { 25 for(int i=0;i<2;i++) 26 for(int j=0;j<2;j++) 27 mat[i][j]=0; 28 } 29 Matrix operator* (const Matrix& b) const 30 { 31 Matrix c; 32 for(int i=0;i<2;i++) 33 for(int j=0;j<2;j++) 34 for(int k=0;k<2;k++) 35 c.mat[i][j]+=mat[i][k]*b.mat[k][j]; 36 return c; 37 } 38 }base; 39 40 Matrix q_pow(Matrix base, int n) 41 { 42 Matrix res; 43 res.mat[0][0]=res.mat[1][1]=1; 44 while(n) 45 { 46 if(n&1) res=res*base; 47 base=base*base; 48 n>>=1; 49 } 50 return res; 51 } 52 53 int main() 54 { 55 //freopen("in.txt","r",stdin); 56 while(~scanf("%d%lf",&n,&p)) 57 { 58 for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&x[i]); 59 sort(x+1,x+n+1); 60 base.mat[0][0]=p; 61 base.mat[0][1]=1-p; 62 base.mat[1][0]=1; 63 base.mat[1][1]=0; 64 ans=1; 65 Matrix tmp=q_pow(base, x[1]-1); 66 ans*=(1-tmp.mat[0][0]); 67 for(int i=2;i<=n;i++) 68 { 69 if(x[i]==x[i-1]) continue; 70 tmp=q_pow(base, x[i]-x[i-1]-1); 71 ans*=(1-tmp.mat[0][0]); 72 } 73 printf("%.7f\n",ans); 74 } 75 return 0; 76 }