BZOJ 2467: [中山市选2010]生成树（矩阵树定理+取模高斯消元）

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2467

题意：

 

思路：
要用矩阵树定理不难，但是这里的话需要取模，所以是需要计算逆元的，但是用辗转相减会更简单。

引用一大神博客里的介绍：http://blog.csdn.net/u013010295/article/details/47451451

值得一提的是，有些题目要求行列式模上一个数的结果。怎么求模意义下的行列式呢？这些题答案都比较大，用浮点数的话精度达不到要求，确实是一个问题。（显然强行用高精度分数类直接消元，最后再取模是可以的，但实现起来就复杂了）

我们注意到最后行列式是主对角线上的元素乘积再取模，根据同余定理，我们只需要对这些元素取模后的结果再相乘，就能得到相同的结果。因此我们可以采用在模意义下对矩阵消元的方法。然而消元过程中我们不可避免地要计算当前列的主元间的比值，这要用到除法；但另一方面，只有加法、减法、乘法操作才能保证同余，怎么在带有除法操作的条件下取模呢？

如果模的数是个质数（其实只需要模数和除数互质），对于除法我们可以直接变成乘上除数的逆元，根据费马小定理，这个逆元可以用快速幂简单求出来。如果模数不是质数，这就比较复杂了，我们在此介绍一种简单的方法。

我们知道，如果对于两个正数，不断地把较大的数减去较小的数，最后一定会有一个数为0。你可能已经知道，这就是辗转相减法的过程。同样地，我们对于矩阵中的两行，不断地把主元较大的那一行减去主元较小的那一行，最终一定有一行主元为0，也就是完成了消元（注意这里的减法是模意义下的减法）。而且这一过程是不改变行列式的。

（需要说明的是，一般情况下，矩阵中可能会有主元为负数的情况，这时我们简单的“大数减小数”显然是不行了。你可能会想到，要对正负数的各种情况判断一下，分别改为加法和减法操作。然而，这里我们讨论的是模意义下的矩阵消元，矩阵的元素都是正整数，并不存在这个问题。）

这样的减法效率还不够高，显然，如果两个主元相差太大，我们需要不断地用一行减去另一行。我们可以记录下两个主元相除的商x（这里用的是整数除法，当不能整除的时候向上向下取整都可以，由于计算机内部的整数除法实现，我们一般是向下取整，而且也符合我们取商的直觉，下面复杂度计算的是向下取整的做法），一次性用主元较大的行减去主元较小的行乘上x倍，这样效率就大大提高了。我们这样做的复杂度是多少呢？其实你也许已经发现，这一过程实际上就是辗转相除法，所以时间复杂度是O(log(n))的。

 1 #include<iostream>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cstdio>
 5 #include<sstream>
 6 #include<vector>
 7 #include<stack>
 8 #include<queue>
 9 #include<cmath>
10 #include<map>
11 #include<set>
12 using namespace std;
13 typedef long long ll;
14 typedef pair<int,ll> pll;
15 const int INF = 0x3f3f3f3f;
16 const int maxn=500+5;
17 
18 int n;
19 int C[maxn][maxn];
20 
21 int Gauss()
22 {
23 
24     for(int i=1;i<=n;i++)
25         for(int j=1;j<=n;j++)
26         C[i][j]=(C[i][j]+2007)%2007;
27 
28     int ans=1;
29     for(int i=1;i<=n;i++) //当前行
30     {
31         for(int j=i+1;j<=n;j++)  //当前行之后的每一行
32         {
33             while(C[j][i])  //利用gcd的方法，不停地进行辗转相除
34             {
35                 int tmp=C[i][i]/C[j][i];
36                 for(int k=i;k<=n;k++)  C[i][k]=(C[i][k]-tmp*C[j][k])%2007;
37                 for(int k=i;k<=n;k++)  swap(C[i][k],C[j][k]);
38                 ans=-ans;
39             }
40         }
41         if(C[i][i]==0)  return 0;
42         ans=(ans*C[i][i])%2007;
43     }
44     ans=(ans+2007)%2007;
45     return ans;
46 }
47 
48 
49 int main()
50 {
51     //freopen("in.txt","r",stdin);
52     int T;
53     scanf("%d",&T);
54     while(T--)
55     {
56         memset(C,0,sizeof(C));
57         scanf("%d",&n);
58 
59         int cnt=n;
60         for(int i=1;i<=n;i++)
61         {
62             C[i][i]+=4;
63             C[i][i%n+1]+=-1;
64             C[i][(i-1)>=1?i-1:n]+=-1;
65         }
66         for(int i=1;i<=n;i++)
67         {
68             cnt++;
69             C[i][cnt]=C[cnt][i]+=-1;
70             C[cnt][cnt]+=2;
71             C[cnt][cnt+1]+=-1;
72             C[cnt+1][cnt]+=-1;
73 
74             cnt++;
75             C[cnt][cnt]+=2;
76             C[cnt][cnt+1]+=-1;
77             C[cnt+1][cnt]+=-1;
78 
79             cnt++;
80             C[cnt][cnt]+=2;
81             C[cnt][i%n+1]+=-1;
82             C[(i+1)<=n?i+1:1][cnt]+=-1;
83         }
84         n=cnt-1;
85         printf("%d\n",Gauss());
86     }
87     return 0;
88 }

 

posted @ 2017-08-14 22:16  Kayden_Cheung  阅读(306)  评论(0)  编辑  收藏  举报
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