BZOJ 2301: [HAOI2011]Problem b（莫比乌斯反演）

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2301

题意：
对于给出的n个询问，每次求有多少个数对(x,y)，满足a≤x≤b，c≤y≤d，且gcd(x,y) = k，gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数。

 

思路：

先简单介绍一下莫比乌斯反演在数论中的作用：

 

那么怎么做这道题呢？

 

接下来我们只需要枚举d就可以了，但是这里还有一个可以优化的地方，我们依次+1枚举d的时候，有时候n/d和m/d是不会改变的，比如说现在n=m=，那么d=3,4,5时n/d和m/d都是不变的，这样一来的话我们可以分块处理，需要计算一下莫比乌斯的前缀和，就可以将3，4,5的值一起计算了，这样一来，枚举的数量将大大减小。具体看代码。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<sstream>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pll;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 1e5 + 5;

int a, b, c, d, k;

bool check[maxn];
int prime[maxn];
int mu[maxn];
int sum[maxn];

void Moblus()
{
    memset(check, false, sizeof(check));
    mu[1] = 1;
    int tot = 0;
    for (int i = 2; i <= maxn; i++)
    {
        if (!check[i])
        {
            prime[tot++] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for (int j = 0; j < tot; j++)
        {
            if (i * prime[j] > maxn)
            {
                break;
            }
            check[i * prime[j]] = true;
            if (i % prime[j] == 0)
            {
                mu[i * prime[j]] = 0;
                break;
            }
            else
            {
                mu[i * prime[j]] = -mu[i];
            }
        }
    }
    return ;
}

int solve(int n, int m)
{
    if(n>m)  swap(n,m);
    int ans=0;

    for(int i=1,last=0;i<=n;i=last+1)
    {
        last=min(n/(n/i),m/(m/i));  //分块处理
        ans+=(sum[last]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);
    }
    return ans;
}


int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    int T;
    Moblus();
    sum[0]=0;
    for(int i=1;i<=maxn;i++)  sum[i]=sum[i-1]+mu[i];

    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
        printf("%d\n",solve(b/k,d/k)-solve(b/k,(c-1)/k)-solve((a-1)/k,d/k)+solve((a-1)/k,(c-1)/k));
    }
    return 0;
}