NDCG
CG
CG（cumulative gain，累计增益）可以用于评价基于打分/评分的个性推荐系统。假设我们推荐k个物品，这个推荐列表的CGk计算公式如下：
\[CG_k=\sum_{i=1}^k \text{rel}_i
\]
\(rel_i\) 表示第 \(k\) 个物品的相关性或者评分。假设我们共推荐 \(k\) 部电影，\(rel_i\) 可以是用户对第 \(i\) 部电影的评分。
比如豆瓣给用户推荐了五部电影，分别为 \(M_1,M_2,M_3,M_4,M_5\)，该用户对这五部电影的评分分别是5, 3, 2, 1, 2，那么这个推荐列表的CG等于
\[CG_5=5+3+2+1+2=13
\]
DCG
然而CG没有考虑推荐的次序，如果引入对物品顺序的考虑，就有了DCG(discounted CG)，折扣累积增益。公式如下：
\[DCG_k=\sum_{i=1}^k \frac{2^{\text{rel}_i}-1}{\log_2(i+1)}
\]
还是上面那个例子，计算结果为：
\[DCG_5=\frac{2^5-1}{\log_2 2}+\frac{2^3-1}{\log_2 3}+\frac{2^2-1}{\log_2 4}+\frac{2^1-1}{\log_2 5}+\frac{2^2-1}{\log_2 6}=31+4.4+1.5+0.4+1.2=38.5
\]
NDCG
DCG没有考虑到推荐列表和每个检索中真正有效结果个数，所以最后我们引入NDCG(normalized discounted CG)，顾名思义就是标准化之后的DCG。
\[NDCG_k=\frac{DCG_k}{IDCG_k}
\]
其中IDCG是指ideal DCG，也就是完美结果下的DCG。
继续上面的例子，如果相关电影一共有7部 \(M_1,M_2,M_3,M_4,M_5,M_6,M_7\)，该用户对这七部电影的评分分别是5, 3, 2, 1, 2 , 4, 0，把这7部电影按评分排序5, 4, 3, 2, 2, 1, 0，这个情况下的完美DCG是：
\[IDCG_5=\frac{2^5-1}{\log_2 2}+\frac{2^4-1}{\log_2 3}+\frac{2^3-1}{\log_2 4}+\frac{2^2-1}{\log_2 5}+\frac{2^2-1}{\log_2 6}=31+9.5+3.5+1.3+1.2=46.5
\]
所以：
\[NDCG_5 = \frac{DCG_5}{IDCG_5}=\frac{38.5}{46.5}=0.827
\]
NDCG是0到1的数，越接近1说明推荐越准确。
