博弈论瞎学

爆了哦。

SG 函数

用在公平组合游戏里。

大概是说：每个状态都有一个 $\text{SG}$ 函数，其值等于所有后记状态的 $\text{SG}$ 函数的 $\text{mex}$。同时，若当前状态的 $\text{SG}$ 值为正数，则当前状态为必胜态；否则（当前状态的 $\text{SG}$ 值为 $0$），当前状态为必败态。

证明一下，当前状态的 $\text{SG}$ 值为正数时，其必可以转移到一个 $\text{SG}$ 值为 $0$ 的状态，否则必定会转移到 $\text{SG}$ 值为正的状态。

经典的取石子游戏（取完最后一个的人胜）就是把 $\text{SG}(0)$ 设为 $0$ 算。然后改成取完最后一个的人败的话，好像只需要把 $\text{SG}(0)$ 设为 $1$ 就行了。

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$\text{SG}$ 定理：若一个博弈可分为多个独立子博弈，则整个博弈的 $\text{SG}$ 值等于所有子博弈的 $\text{SG}$ 值的异或和。

证明如下：

首先，若在任何情况下，我们都可以通过一步操作使得 $\text{SG}$ 从非 $0$ 变成 $0$，则定理必定成立。接下来考虑如何证明这个事情。

设当前状态的 $\text{SG}$ 值为 $p$ 且其二进制最高位为第 $k$ 位，则首先，当前状态必定至少存在一个子博弈，满足其二进制的第 $k$ 位为 $1$，这个显然。接下来，由前文定义得，对于任意小于该子状态的 $\text{SG}$ 值的 $\text{SG}$ 值，该子状态都可以一步转移到 $\text{SG}$ 值为该值的状态。

于是，考虑将该状态大于 $k$ 的位保持不变，第 $k$ 位由 $0$ 变 $1$，$1$ 到 $k-1$ 位变为值为 $p-2^{k-1}$ ，取这样的一个 $\text{SG}$ 值，并将这个状态转移过去，总状态的 $\text{SG}$ 值将变为 $0$。容易发现这样的转移必定正确。

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来点题。

• ABC297G - Constrained Nim 2

  考虑子问题的 $\text{SG}$ 函数。首先设有一个数量为 $x$ 的石子堆，则：

  • $x<l$ 时，$\text{SG}$ 值显然为 $0$。
  • $l\le x<2l$ 时，一步操作必然会转移到 $x<l$ 的情况，故 $\text{SG}$ 值为 $1$。
  • $2l\le x<3l$ 时，一步操作会转移到上面的两种状态中，故 $\text{SG}$ 值为 $2$。

  以此类推，我们可以发现，当 $x<l+r$ 的时候，$\text{SG}$ 值就是 $\lfloor \frac{x}{l}\rfloor$。接下来考虑 $x\ge l+r$ 的情况。

  • $l+r\le x<2l+r$ 时，显然先手必败，故 $\text{SG}$ 值为 $0$。
  • $2l+r\le x<3l+r$ 时，转移到 $x<l+r$ 的话先手仍然必败，故先手必定会转移到 $l+r\le x<2l+r$ 的情况，$\text{SG}$ 值为 $1$。

  进一步地，设当前的状态 $x$ 位于区间 $[p\times (l+r),(p+1)\times (l+r))$ 时，感性理解可以发现，先手必定不会进行一步跃出这个区间的转移。理性分析就是跃出这个区间的话，因为它不会减去超过 $r$ 的值，所以跃出这个区间后，$\text{SG}$ 值必定比只考虑这个区间内的情况的 $\text{SG}$ 值要大。

  故对于数 $x$，其 $\text{SG}$ 值为 $\lfloor \frac{x\mathrm{\%}(l+r)}{l}\rfloor$。最终答案只需用 $\text{SG}$ 定理求一下并判断即可。

考场上要学会打表观察 $\text{SG}$ 函数的值，别再推你的策略了。