【数学：卡特兰数】总结

其实之前就研究了一下卡特兰数 只是因为不知道怎么了就突然忘记继续搞下去了


听了刘老师的卡特兰数后 还是认真写个总结吧


一：卡特兰数的前几个数


为了以后能即使发现是卡特兰数 贴 几个卡特兰数的前几个数

前20项为（OEIS中的数列A000108）：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190

二：卡特兰数的一般公式运用


1.

C_n = {2n \choose n} - {2n \choose n + 1} = \frac{1}{n+1}{2n \choose n}


2.

C_0 = 1 \quad \mbox{and} \quad C_{n+1}=\sum_{i=0}^{n}C_i\,C_{n-i}\quad\mbox{for }n\ge 0.


3.

C_0 = 1 \quad \mbox{and} \quad C_{n+1}=\frac{2(2n+1)}{n+2}C_n,


公式一

对于 1 先从一个题目看看这个公式如何来的

习题一.考虑由n个+1和n个-1构成的2n项序列a1,a2,a3,....a2n

其部分和总满足 a1+a2+a3+..ak>=0 (k=1,2,3,....2n)

证明这样的序列满足卡特兰数.


证明如下（组合数学教科书上的）：巧妙的运用了一组等价变幻




对于公式2


可以考虑这个题目



  • Cn表示通过连结顶点而将n + 2边的凸多边形分成三角形的方法个数。下图中为n = 4的情况：
Catalan-Hexagons-example.svg



公式3待定



公式4：



由这个题可以知另一个好公式


  • Cn表示所有在n × n格点中不越过对角线的单调路径的个数。一个单调路径从格点左下角出发，在格点右上角结束，每一步均为向上或向右。计算这种路径的个数等价于计算Dyck word的个数：X代表“向右”，Y代表“向上”。下图为n = 4的情况：
Catalan number 4x4 grid example.svg


其实还有另外一个方便计算的公式

C（m,n）=C（m-1,n)+C(m,n-1);  若（m<n) 则C（m,n）=0

而C（n,n） 即为 n的卡特兰数


题目链接：

http://blog.csdn.net/zy691357966/article/details/40514945


再考虑一些不容易看出来的卡特兰数题目（那种显而易见的就不贴了）

1.

  • Cn表示有n个节点组成不同构二叉树的方案数。下图中，n等于3，圆形表示节点，月牙形表示什么都没有。
  • Cn表示有2n+1个节点组成不同构满二叉树（full binary tree）的方案数。下图中，n等于3，圆形表示内部节点，月牙形表示外部节点。本质同上。
Catalan number binary tree example.png
 公式2卡特兰数理念（子问题合并）


2.

  • Cn表示用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数。下图为n = 4的情况：
Catalan stairsteps 4.svg

不知道怎么证
、

posted on 2014-10-28 19:15  DDUPzy  阅读(958)  评论(0)  编辑  收藏  举报

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