图论基本概念（更新之中）

图论基本概念

图论的本质是组合论和几何学。
图是关系的数学表示形式。图由两个集合来共同表示：非空的节点集V和有限的边集E组成。（边是节点集的两元素子集的子集。）
集合V的基数n表示图的阶，集合E的基数m表示图的规模。集合E中的元素表示了节点是否邻接。
邻接：若两个顶点之间有边存在，则称这两个顶点邻接。
关联：若边的无序对（有序对）包含该节点，则称该顶点与这条边相关联。
孤立点：度为0的节点。
端节点：度为1的节点（也叫做：叶子）
简单图：任意两个节点之间最多只能有一条边存在。
多重图：允许指定的两个节点之间存在两条及两条以上的边。
正则图：图中所有的节点有相同的度数。（r-正则图表示所有节点的度都是r）
无向图：边没有方向性。
有向图：边具有方向性。
加权图：是一种赋予了边值的图，这些值称为权重或者成本。
*有向图的边集由有序对构成，无向图的边集由无序对构成
度（无向图）：节点的度指的是与节点v邻接的节点数。记作：deg(v).
入度：以顶点v为终点的边的数目，称为v的入度。
出度：以顶点v为始点的边的数目，称为v的出度。
度（有向图）：出度和入度之和。
完全图：具有最多的边数，即：任意两个节点之间都有一条边存在的简单图。
对于n节点的无向完全图而言：因为每个节点的度为n-1,有n个节点，又有欧拉定理，可以得：
|E(Kn)| = n(n-1)/2。（图的规模）
对于n节点的有向完全图而言：因为是有方向的，所以对于每一个节点而言，与其邻接的节点有n-1个，即： |E(Kn)| = n(n-1)
N节点的完全图也是n-1-正则图。
最大度：所有节点的最大度数。
最小度：所有节点的最小度数。

关于欧拉：欧拉被人称为：图论之父。欧拉定理也被称为：图论第一定理。
详见百度百科 。
欧拉定理： 在任何图中，节点度的和等于边数的两倍。
推论：在任何图中，节点度的总和是一个非负偶数。

图在计算机中可以使用邻接表和邻接矩阵来表示。
邻接矩阵：如果一个图有n个节点，那么使用n*n的邻接矩阵来表示它。
邻接表：使用链表来表示图

同构：若图G1中的u,v节点邻接当且仅当图G2中的对应节点也是邻接的。
同构的图的所有性质是一样的，凡事性质不一样的，都不是同构的图。证明图是否是同构的非常麻烦。
u-v通道：从节点u出发，经过一个交互的节点和边的序列，最后回到节点v的路径。
通道长度：构成该通道的边的数量。
迹：如果一个通道没有重复的边，我们就称为迹。
路：如果一个通道没有重复的节点，我们就称为路。闭路称为圈。
显然，一个路必然是一条迹。
连通图：图中任意两个节点间都存在路。
测地线路：是指节点u和v之间长度最短的路，简称为测地线。
标记图：给所有的节点都给以记号来表示。
子图的数目：对于一个标记图而言，它的子图的数目是：2ʌk。k为标记图中连接了被标记节点的边的数目。
连同分量：在非连通图中，各个分支称为连同分量。严格来说，图的连同分量指的是极大连同子图。极大不是最大。（极大是指子图包含的顶点个数极大）
一个连通图只有一个连同分量，就是它本身。
平凡图：只有一个节点的图。记作K1。
圈：n个节点构成的有回路的2—正则图。
完全二分图：图的顶点由两个集合A,B构成，A中的每一个节点都与B中的每一个节点相关联，且不与A集合之中的任何一个节点相关联。
度序列：含有n个节点的图G的度序列是指，节点度数按照从大到小的一个排列。
同构的两个图必然有相同的度序列。
补图：设有完全图G，它的补图记作

定理：非连通图的补图是连通图。

树：连通无圈图称为树。
树的性质：
 设树T有n个节点，则树T有n-1条边；
 一棵非平凡树，它至少有两个端节点（叶子）；
 一棵非平凡树，它的任意两个节点u，v之间有且仅有一条通路。
 删除树的任意一条边，树都会变成非连通的。即：树是最小连通的。