树状数组(一维)
变形一下
现在定义每一列的顶端结点C[]数组
下面说代码
int lowbit(int t){return t&(-t);}//-t 代表t的负数 计算机中负数使用对应的正数的补码来表示//例如 :// t=6（0110） 此时 k=1//-t=-6=(1001+1)=(1010)// t&(-t)=(0010)=2=2^1
C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......A[i];
C[i]=A[i-lowbit(i)+1]+A[i-lowbit(i)+2]+......A[i];
区间查询
ok 下面利用C[i]数组，求A数组中前i项的和
举个例子 i=7;
sum[7]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7] ; 前i项和
C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]; C[6]=A[5]+A[6]; C[7]=A[7];
可以推出: sum[7]=C[4]+C[6]+C[7];
序号写为二进制: sum[(111)]=C[(100)]+C[(110)]+C[(111)];
再举个例子 i=5
sum[5]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5] ; 前i项和
C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]; C[5]=A[5];
可以推出: sum[5]=C[4]+C[5];
序号写为二进制: sum[(101)]=C[(100)]+C[(101)];
细细观察二进制 树状数组追其根本就是二进制的应用
结合代码
int getsum(int x){int ans=0;for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))ans+=C[i];return ans；}
对于i=7 进行演示
7(111) ans+=C[7]
lowbit(7)=001 7-lowbit(7)=6(110) ans+=C[6]
lowbit(6)=010 6-lowbit(6)=4(100) ans+=C[4]
lowbit(4)=100 4-lowbit(4)=0(000)
对于i=5 进行演示
5(101) ans+=C[5]
lowbit(5)=001 5-lowbit(5)=4(100) ans+=C[4]
lowbit(4)=100 4-lowbit(4)=0(000)
*************************************************分割线
单点更新
当我们修改A[]数组中的某一个值时 应当如何更新C[]数组呢？
回想一下 区间查询的过程，再看一下上文中列出的图
结合代码分析
void add(int x,int y){for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))tree[i]+=y;}//可以发现 更新过程是查询过程的逆过程//由叶子结点向上更新C[]数组
如图：
当更新A[1]时 需要向上更新C[1] ,C[2],C[4],C[8]
C[1], C[2], C[4], C[8]
写为二进制 C[(001)],C[(010)],C[(100)],C[(1000)]
1(001) C[1]+=A[1]
lowbit(1)=001 1+lowbit(1)=2(010) C[2]+=A[1]
lowbit(2)=010 2+lowbit(2)=4(100) C[4]+=A[1]
lowbit(4)=100 4+lowbit(4)=8(1000) C[8]+=A[1]
区间更新,区间查找
对于sum1数组的修改同问题2中对d数组的修改。
对于sum2数组的修改也类似，我们给 sum2[l] 加上 l * x，给 sum2[r + 1] 减去 (r + 1) * x。
1 void add(ll p, ll x){ 2 for(int i = p; i <= n; i += i & -i) 3 sum1[i] += x, sum2[i] += x * p; 4 } 5 void range_add(ll l, ll r, ll x){ 6 add(l, x), add(r + 1, -x); 7 } 8 ll ask(ll p){ 9 ll res = 0; 10 for(int i = p; i; i -= i & -i) 11 res += (p + 1) * sum1[i] - sum2[i]; 12 return res; 13 } 14 ll range_ask(ll l, ll r){ 15 return ask(r) - ask(l - 1); 16 }
