UVA12716：GCD XOR

UVA12716：GCD XOR

题意:

给定\(T\leq10^4\)组测试样例，询问\(\sum_{i=1}^n\sum_j^n[gcd(a,b)=a\ xor\ b]\)。

\(n\leq3*10^7\)。

思路：

设

\[gcd(a,b)=a\ xor\ b=c \]

• \(1:a\ xor\ b=c\)，那么有\(a\ xor\ c=b\).

• \(2:a-b\leq a\ xor\ b\).

• \(3:gcd(a,b)=a\ xor\ b=c\)，令\(a=k_1c,b=k_2c,(k_1\geq k_2)\)。

  • \(a-b=(k_1-k_2)*c\)。
  • 又因为\(a-b\leq c\)。
  • 所以有\(a-b=c\)。

所以结果为：

\[a-b=a\ xor\ b \]

的数对对数。

时间复杂度

\[n+\frac{n}{2}+\frac{n}{3}+...=n(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...)=n(lnn+c) \]

\(lnn+c\)为调和级数求和。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 3e7+10;
int ans[maxn];

void init(int n)
{
    int k = n>>1;
    for(int b = 1; b <= k; b++)
    	for(int a = b+b; a <= n; a += b)
    	if((a^b) == a-b) ans[a]++;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        ans[i] += ans[i-1];
}

int cas;
inline void solve()
{
    int n; scanf("%d", &n);
    printf("Case %d: %d\n", ++cas, ans[n]);
}

int main()
{
    init(maxn-5);
    int T; scanf("%d", &T);
    while(T--) solve();
    return 0;
}