luogu_2480: 古代猪文

洛谷：2480古代猪文

题意描述：

• 给定两个整数\(N,G\)，求$G^{{\sum_{k|n}C_n}k}\ mod\ 999911659 $。

数据范围：

• \(1\leq N\leq 10^9,1\leq G\leq 10^9\)。

思路：

• 对于这样一个式子，暴力肯定是不可能的，所以我们先来挖掘一些性质。
• 模数\(999911659\)是一个质数，我们可以想到对这个式子进行欧拉降幂。
• 我们可以得到式子：
  • \(G^{\sum_{k|n}C_n^k}\equiv\ G^{\sum_{k|n}C_n^kmod\varphi(999911659)}\ mod(999911659)\)。
• 只要当我们求出来指数是多少的时候，那么此时整个结果就变得十分明了了，我们只需要快速幂一下就可以得出结果。
• 所以接下来我们的重心在于解\(\sum_{k|n}C_n^kmod\ \varphi(mod)\)。
• 对于这样一个式子，我们可以看看\(\varphi(mod)\)是多少。
• 因为\(mod=999911659\)是一个质数，那么他对应的\(\varphi(mod)=999911658\)。
• 那么我们这时候的解就变成了解\(\sum_{k|n}C_n^kmod\ \varphi(999911658)\)。
• 因为\(n\)很大，所以不管怎么算都是很不划算的，我们手里能用的工具只有\(lucas\)定理，但是\(lucas\)定理要求模数为质数，这时候我们研究一下\(999911658\)。
• 我们发现他虽然不是质数，但是对其质因数分解后，可以发现\(999911658=2*3*4679*35617\)，四个质数相乘。(出题人设计的真的是太巧妙了。)
• 于是将上式改写为\(\sum_{k|n}C_n^kmod\ \varphi(2*3*4679*35617)\)。
• 到了这里，似乎就有解头了，因为我们得到了质数，同时对于组合数可以用\(lucas\)定理来求解。但接下来要怎么考虑呢。因为毕竟上式你不能拆成\(原式\%2*原式\%3,...\)。
• 于是我们可以这么考虑，首先设上式为\(x\)。
  • \(x\equiv num\ mod(2*3*4679*35617)\)，其中\(num\)为上式的最小正整数解。
• 对于这样一个式子，我们可以拆分成：
  • \(x\equiv num\ mod(2)\)
  • \(x\equiv num\ mod(3)\)
  • \(x\equiv num\ mod(4679)\)
  • \(x\equiv num\ mod(35617)\)
• 可以假设:
  • \(num\%2=a_1\)
  • \(num\%3=a_2\)
  • \(num\%4679=a_3\)
  • \(num\%35617=a_4\)
• 又因为\(num\)与\(x\)同余，所以有：
  • \(x\%2=a_1\)
  • \(x\%3=a_2\)
  • \(x\%4679=a_3\)
  • \(x\%35617=a_4\)
• 对于\(a_i\)可以利用\(lucas\)快速求解，对于\(x\)可以使用中国剩余定理求解。
• 假设中国剩余定理求得的结果为\(ans\)，最终结果就是：
  • \(G^{ans}\ mod\ 999911659\)。

注意事项：

• 可能到了这里就觉得这题能完美解决了，但是其实还有一个小的点需要我们注意，那就是虽然\(mod=999911659\)是一个质数，但是\(g\)的范围很大，有可能\(g\)是\(999911659\)的倍数，那么不互质就不可以进行常规的欧拉降幂了。
• 那这里提供两种解决方案。
• 首先可以一进来就特判一下，看看\(g\%999911659==0\)否，我们可以特判掉这种情况。
• 第二种方案可以尝试采用拓展欧拉定理，先来复习一下：
  • 当\(a,n\)不互质时：
    • 当\(b\geq \varphi(n)\)，有\(a^b\equiv a^{b\mod\varphi(n)+\varphi(n)}\)。
    • 当\(b<\varphi(n)\)，有\(a^b\equiv a^{b\mod\varphi(n)}\)。
  • 那这时候情况很尴尬啊，我们不知道上式的那个组合数求和有多大。
  • 但是对于本题，我们可以无脑的采用第一种情况。即\(a^b\equiv a^{b\mod\varphi(n)+\varphi(n)}\)。
  • 因为首先当\(b\)非常大且超过\(\varphi(n)\)时，那么式子显然成立。
  • 但是当不那么大的时候，对于原式的\(mod==999911659\)，其实应该采用第二种情况，但是因为\(mod\)是一个质数，根据欧拉定理\(a^{\varphi(n)}\equiv1mod(n)\)，其实加上去也就相当于是乘了一个 \(1\)，对结果没有影响。

代码：

• #include<bits/stdc++.h>
  using namespace std;
  typedef long long ll;
  const int mod = 999911659; //是一个质数
  ll g, n, prime[10], a[10];
  
  /*
  999911658分解质因数结果为 2,3,4679,35617
  */
  
  ll factor[1600], cnt;
  void divide(ll x)
  {
      for(ll i = 1; i <= x / i; i++)
      {
          if(x % i == 0)
          {
              factor[++cnt] = i;
              if(i != n / i) factor[++cnt] = n / i;
          }
      }
  }
  
  
  ll qmi(ll a, ll b, ll p)
  {
      ll res = 1; res %= p;
      while(b)
      {
          if(b & 1) res = res * a % p, res %= p;
          a = a % p * a % p;
          a %= p;
          b >>= 1;
      }
      return res % p;
  }
  
  ll C(ll a, ll b, ll p)
  {
      if(b > a) return 0;
      if(b > a - b) b = a - b;
      ll x = 1, y = 1;
      for(int i = 0; i < b; i++)
      {
          x = x * (a - i) % p;
          y = y * (i + 1) % p;
      }
      return x * qmi(y, p-2, p);
  }
  
  ll lucas(ll a, ll b, ll p)
  {
      if(b == 0) return 1;
      return C(a%p, b%p, p) * lucas(a/p, b/p, p) % p;
  }
  
  ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
  {
      if(b == 0) {x = 1; y = 0; return a;}
      ll d = exgcd(b, a % b, y, x);
      y -= a / b * x;
      return d;
  }
  
  ll crt()
  {
      ll res = 0;
      for(int i = 1; i <= 4; i++)
          res = (res + a[i] * (mod-1)/prime[i] % (mod-1) * qmi((mod-1)/prime[i], prime[i]-2, prime[i])) % (mod-1);
      return res;
  }
  
  int main()
  {
      cin >> n >> g;
      /*
      if(g % mod == 0)
      {
          puts("0");
          return 0;
      }
      */
      divide(n);
      memset(a, 0, sizeof a);
      memset(prime, 0, sizeof prime);
      prime[1] = 2; prime[2] = 3;
      prime[3] = 4679; prime[4] = 35617;
  
      for(int i = 1; i <= 4; i++)
      {
          ll tmp = 0;
          for(int j = 1; j <= cnt; j++)
          {
              ll x = factor[j];
              tmp += lucas(n, x, prime[i]) % prime[i];
              tmp %= prime[i];
          }
          a[i] = tmp;
      }
      ll x = crt();
      //cout << qmi(g, x, mod) << endl;
      cout << qmi(g, x + mod - 1, mod) << endl;
      return 0;
  }