[2020.7.24NOIP提高组模拟T3]终章-剑之魂

【题目描述】

终焉的试炼即将到来，作为一名有修养的剑士，虽然没有习得n刀流但是二刀流还是没问题的。然而我也是个剑的收藏者，家里屯着n把剑，每一把剑都有一个灵魂值a[i]，由于一些剑之间可能有共鸣，所以我需要两把契合度最高的剑。据剑圣所说，两把编号为i,j剑的契合度为a[i] & a[j]。如何深得剑的灵魂呢？

 

【输入】

第一行一个整数n，代表藏剑数。

第二行n个整数，第i个整数表示a[i]。

【输出】

输出包含一个正整数，最好的两把剑的契合度。

 

【样例输入】

5
12  5  6  3  1

【样例输出】

4

 

【数据范围】

对于40%的数据 n ≤ 1,000
对于100%的数据 n ≤ 1,000,000，0 ≤ a[i] < 2³¹

 

【解题思路1】

直接枚举所有情况，时间复杂度O（n²），会超时，得分40分

 

【解题思路2】

思路1的优化，先用sort将a[i]从大到小排列，因为ans的值为a[i]&a[j]的最大值，所以，当 ans>=a[i] 或 ans>=a[j] 时，小于等于ans的a数组的值（包括a[i]和a[j]）无法使ans的值变大，所以跳过（break）

实际时间复杂度为O（n log n）+O（玄学）

最坏情况下时间复杂度会退化为O（n²），但由于本题数据过水，能得100分

 

#include<bits/stdc++.h>
#include<fstream>
using namespace std;
int n,ans;
int w[1000005];
ifstream fin("sword.in");
ofstream fout("sword.out");
inline bool cmp(int a,int b){
    return a>b;
}
int main(){
    fin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        fin>>w[i];
    sort(w+1,w+n+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(w[i]<=ans) break;
        for(int j=i+1;j<=n;j++){
            if(w[j]<=ans) break;
            ans=max(ans,w[i]&w[j]);
        } 
    }    fout<<ans;
    return 0;
}

 

【解题思路3】（正解）

无需排序，时间复杂度O（30*n）

易知：1+2+4+……+2^（n-1）< 2^n

因此，就算只有从右往左第n位取1，取得的值也比倒数第1位到第（n-1）位全取1大（高位的数能取必须取）

因为 a[i]<2^31 ,所以先从高位（倒数第 i=30 位）枚举到低位（倒数第i=0 位），再枚举 a[j]（j=1~n）

如果现在的 ans & a[j]==ans ，说明a[j]不会使ans的值变小

再如果 a[j] & （1<<i）>0 ，即a[j]的二进制从右往左第（i+1）取1，表示a[j]有可能使ans的值变大。

如果满足以上两种情况的a[j]有不少于两组，表示ans可以被满足以上两种情况的 a[j] &a[j+x] （x不定）更新 ，更新后的ans比更新前至少大（1<<i）（回看第二种情况）。

 

#include<bits/stdc++.h>
#include<fstream>
using namespace std;
int n,ans;
int w[1000005];
ifstream fin("sword.in");
ofstream fout("sword.out");
int main(){
    fin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        fin>>w[i];
    for(int i=30;i>=0;i--){
        int dsc=0;
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(((ans&w[j])==ans)&&(w[j]&(1<<i))) ++dsc;
        if(dsc>=2) ans+=(1<<i);
    }
    fout<<ans;
    return 0;
}

 

2020-07-24